| 研究課題/領域番号 |
17K05287
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| 研究機関 | 北海道教育大学 |
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研究代表者 |
小室 直人 北海道教育大学, 教育学部, 教授 (30195862)
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| 研究分担者 |
三谷 健一 岡山県立大学, 情報工学部, 准教授 (00468969)
斎藤 吉助 新潟大学, 自然科学系, フェロー (30018949)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | James定数 / von Neumann-Jordan定数 / Birkhoff orthogonality / Radon space / symmetric point / C^* algebra |
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| 研究実績の概要 |
１．直交性を内積空間からノルム空間に拡張する方法が知られているが、その代表的なものに、Birkhoff直交性がある。Birkhoff直交性は一般に対称性を持たないことが知られているが、右対称点、左対称点という概念が導入され研究されている。 B(H) において、右対称点、左対称点のそれぞれの特徴づけを行った Turnsek の結果が知られているが、一般のフォン・ ノイマン環において右対称点、左対称点の特徴づけを行った。A をフォン・ノイマン環 R のノルム 1 の元とするとき、A が右対称点であることと、A が R の単位球の端点をなすことが同値であることなどを得た。同時にコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数の空間での右対称性の特徴づけも与えた。また、C^*環の正錘に関する局所右（左）対称点の概念を導入し、特徴づけを行った。可換C^*環のゼロでない正の元 A が正錘に関する右対称点であることと、A が狭義正であることが同値であることなどを得ており、そのいくつかの応用も行った。
２．Birkhoff直交性が対称性を持つ特殊なノルムを備えたノルム空間をRadon空間と呼ぶ。２次元のノルム空間でのみ内積空間ではない多様なRadon空間が存在するが、２次元Radon空間をDay-James空間として特徴づける懸案となっていた問題が解決に至り、ノルムの空間におけるRadon空間全体のコンパクト性をその応用として示した。
３．内積空間以外でJames定数が√２となるノルム空間は、２次元では様々存在している。そこでの von Neumann-Jordan定数の下限値が現在未解決だが、関連して、James定数が√２となるノルムの新たな例を多数見出すことに成功した。これを用いて、James定数が√２となるノルムの新たな特徴づけや構成法、上記の下限値の問題の解決に大きく近づいたと考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２次元Radon空間を、Day-James 空間として表現する問題は懸案となっていたが、第１象限のノルムが与えられると第２象限が一意に定まることを簡易な証明で確かめることができたのは大きな前進となった。また、Birkhoff直交の対称点の特徴づけは、Turnsek の研究である B(H) の場合を一般のフォン・ノイマン環に拡張し、さらに C^* 環の一部へ一般化するなど様々な設定で進展しており、新たな応用も得られるなど順調といえる。James 定数が√２となる２次元ノルム空間のvon Neumann-Jordan定数の下限値は以前より懸案となっていて、３０年度までに様々な例が考案され、James定数が√２となるノルムの特徴づけや構成法など新たな情報が得られているが、最終的な結果には至っていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
３０年度の研究成果を踏まえ、３１年度以降に取り組む主要な課題は以下のとおりである。
１．Birkhoff直交性の対称点の特徴づけは順調に進んでいるが、現在までで未知となっている空間は多く存在し、今後も研究を継続する。
２．James定数が√２となるノルム空間のvon Neumann-Jordan定数の下限値は、単位球が正８角形となるノルムが持つ 4-2√2 であると予想され、この証明に取り組み、ノルム不等式の精密化などへの応用を試みる。
３．２次元ノルム空間においてRadon空間にノルムを制限した際の幾何学定数の最大値の研究が最近始まっており、これまでの結果を用いて応用を試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加を予定していた、NAO-Asia 2018 や、数理解析研究所研究集会等で、本務都合により取りやめたことによる。なお、これらの研究会で予定していた研究発表は分担者である斎藤吉助氏により実施している。繰り越し分は、令和元年開催の国際研究集会 NACA 2019 への参加や、旭川で開催を予定している研究集会で、使用予定である。
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