分割型積分を含む非線形積分の収束定理の摂動法による統一的解析

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05293
• 研究機関: 信州大学
• 研究代表者: 河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 非加法的測度 / 非線形積分 / 摂動性 / 分布型積分 / 分割型積分 / 積分の収束定理 / Choquet積分 / 積分汎関数

研究実績の概要

一様可積分な関数列に対する非線形積分の収束定理（Vitaliの収束定理の非線形化）について，非線形積分の中でも特に重要なChoquet積分の場合を重点的に研究し，以下の結果を得た．
１．Vitaliの定理の定式化に必須の概念である一様可積分性をChoquet積分に対して定式化し，一様可積分性は，一様積分有界性かつ一様絶対連続性と同値となることを示した．また，この事実は，他の非線形積分であるSipos積分やShilkret積分に対しても成立するが，Sugeno積分に対して成立しないことを示した．
２．Vitaliの収束定理を被積分関数列が各点収束する場合，概収束する場合，測度収束する場合の３つに分けて考察し，以下の結果を得た．（１）各点収束の場合は，非加法的測度μに対してVitaliの収束定理が成立するための必要十分条件は，μが連続，すなわち上から連続かつ下から連続である．（２）概収束の場合の必要十分条件は，μが連続かつ零加法的である．（３）測度収束の場合の必要十分条件は，μが自己連続である．また，有界収束定理の成立性についても全く同様の結果が成り立つことも示した．
３．Choquet積分に対するその他の収束定理として，単調増加／減少収束定理，優収束定理についても考察した．特に，優収束定理についても，被積分関数列の収束の種類に応じて次の結果が得られることを示した．（１）各点収束の場合は，μに対して有界収束定理が成立するための必要十分条件は，μが条件連続，すなわち上から条件連続かつ下から条件連続である．（２）概収束の場合の必要十分条件は，μが条件連続かつ零加法的かつ零連続である．（３）測度収束の場合の必要十分条件は，μが自己連続である．また，被積分関数列が測度収束する場合の単調増加／減少収束定理の成立性を考察するために，新たに上から（下から）単調自己連続性の概念を導入した．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画「一様可積分な関数列に対する非線形積分の収束定理（Vitaliの定理の非線形化）」については，論文「The Vitali type theorem for the Choquet integral」がLinear and Nonlinear Analysis, Vol. 3 (2017), 349-365に掲載された．また，Choquet積分に対する収束定理（単調増加／減少収束定理，Fatouの補題，逆Fatouの補題，有界収束定理，Vitaliの収束定理，優収束定理）を網羅したサーベイ論文である「Convergence theorems of the Choquet integral for three types of convergence of measurable functions」がJosai Mathematical Monographs, Vol. 11 (2018), 55-74に掲載された．
他の研究計画についても予備的考察が順調に進展している．

今後の研究の推進方策

申請時の研究計画・方法に基づき研究を推進する．特に平成３０年度は下記の課題を重点的に研究する．
１．Choquet，Sipos，Sugeno，Shilkret積分などの分布型積分をその特別な場合として含む一般の非線形積分汎関数に対して，積分汎関数の摂動性を用いて，Vitaliの収束定理を定式化する．また，応用として，有界収束定理を導く．
２．積分汎関数に対する単調増加／単調減少測度収束定理を，新たに導入する単調自己連続性の概念を用いて再度議論し，従来の結果をより精密化する．
３．Lehrer積分（凹積分）などの分割型積分の収束定理に関して予備的研究を開始する．

研究成果

• [雑誌論文] Convergence theorems of the Choquet integral for three types of convergence of measurable functions (2018)
  • 著者名/発表者名: Jun Kawabe
  • 雑誌名: Josai Mathematical Monographs 巻: 11 ページ: 55-74
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] The Vitali type theorem for the Choquet integral (2017)
  • 著者名/発表者名: Jun Kawabe
  • 雑誌名: Linear and Nonlinear Analysis 巻: 3 ページ: 349-365
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] 非線形積分の収束定理の統一的定式化 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 雑誌名: 第56回実函数論・函数解析学合同シンポジウム講演集 巻: 56 ページ: 35-54
  • オープンアクセス
• [雑誌論文] 対称・反対称Choquet積分に対するVitaliの収束定理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 雑誌名: 実解析学シンポジウム2017講演集 巻: 49 ページ: 31-36
  • オープンアクセス
• [雑誌論文] 一様Choquet可積分性とVitali型収束定理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 雑誌名: 第22回曖昧な気持ちに挑むワークショップ講演論文集 巻: 22 ページ: 62-67
  • 査読あり / オープンアクセス
• [学会発表] 積分汎関数に対するVitali型収束定理 (2018)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: RIMS研究集会，関数空間の深化とその周辺
• [学会発表] Convergence theorems of nonlinear integrals (2017)
  • 著者名/発表者名: Jun Kawabe
  • 学会等名: The 10th Anniversary Conference on Nonlinear Analysis and Convex Analysis
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Convergence theorems of nonlinear integral functionals (2017)
  • 著者名/発表者名: Jun Kawabe
  • 学会等名: Positivity IX
  • 国際学会
• [学会発表] The Vitali convergence theorem for nonlinear integrals (2017)
  • 著者名/発表者名: Jun Kawabe
  • 学会等名: 6th International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications
  • 国際学会
• [学会発表] 非線形積分の収束定理とその統合化 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: 数理経済学会セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] 非線形積分の収束定理の統一的定式化 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: 第56回実函数論・函数解析学合同シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] Choquet積分に対するVitaliの収束定理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: 日本数学会2017秋季総合分科会 実函数論分科会
• [学会発表] 対称・反対称Choquet積分に対するVitaliの収束定理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: 実解析学シンポジウム2017
• [学会発表] 一様Choquet可積分性とVitali型収束定理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 河邊 淳
  • 学会等名: 第22回曖昧な気持ちに挑むワークショップ
• [備考] 信州大学学術情報オンラインシステムSOAR
  • URL: http://soar-rd.shinshu-u.ac.jp/profile/ja.jaAaZVkh.html?lng=ja&id=jaAaZVkh