| 研究課題/領域番号 |
17K05296
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
木坂 正史 京都大学, 人間・環境学研究科, 准教授 (70244671)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 超越整関数 / Fatou成分 / Fatou-宍倉不等式 / 有限型超越整関数 / 構造有限超越整関数 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は主に当初の計画の(II)のうち，超越整関数（自然な）パラメータ族の中での多様性に関する研究を行った．計画当初はパラメータ空間の構造を予定していたが，それ以前にもう少し一般にFatou集合上の力学系に関してどのような多様性が認められるのかについて考察することにした．得られた主な成果は次の通りである：
有理関数のFatou集合上での力学系については「Fatou-宍倉不等式」と呼ばれる，持ち得るFatou成分のサイクルの個数に関する不等式が知られており，この結果の類似が有限型超越整関数（「クラスＳ」と呼ばれている）に対して成り立つことがEremenkoとLyubichによって知られていた．これは「d個の特異値を持つ有限型超越整関数の吸引サイクル，有理的中立サイクル，Siegel円板のサイクル，Cremerサイクルの個数の和はd以下である」ことを主張する．有理関数に対する不等式については，その不等式を満たすような整数の組を与えるとそれを実現するような有理関数が存在する，という意味での最良性が成り立つが，有限型超越整関数に場合には未知であった．これに関して同様の最良性が成り立つことを次のように示した：
有限型超越整関数の中で具体的な式表現を持つ構造有限型超越整関数に注目し，まずd個の特異値を持つ構造有限型超越整関数でd個のSiegel不動点を持つものを具体的に構成する．これに対し擬等角手術を施すことにより，Siegel不動点を1個減らして例えば吸引不動点を1個増やす，或いは有理的中立不動点を1個増やす等が可能であることを示す．これを繰り返し行うことで目的を達成する．証明は有理関数の場合の類似ではあるが，Cremerサイクルを持つ超越整関数を構成する際には有理関数のときに使えた「Cremerの定理」が使えないことが判明した．これを回避する方法を２種類作り，最終的な解決に至った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初主目的としていた２次多項式族に関する研究については，初年度以降にはあまり進展が見られない．また超越整関数のJulia集合の計量的性質に関する研究については，まだ目立った成果が上げられていない．整関数の族の中での多様性についてはパラメーター空間の研究にまでは至っていないが，上記の実績の概要で述べたような成果は上がっている．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も２次多項式族に関する研究は依然継続しつつ，超越整関数の力学系の研究，特に有限型超越整関数の力学系の多様性について引き続き考察したい．場合によっては超越有理型までクラスを広げて考える方が良いと考えている．またJulia集合の位相的性質の研究も引き続き行う．また課題解決の考察をしているうちに他のおもしろい現象や新たな問題を発見することも十分考えられる．当初の実施計画にあるもののみを考察するようなことはせず，このような発見があった場合は臨機応変に対応する予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの感染拡大により，２，３月に予定されていた研究集会が全て中止となったため，予定していた旅費・滞在費が使えなくなってしまった．繰り越した助成金は次年度の助成金と共に，旅費は前年度と同程度かそれ以上に，また物品費は前年度よりかなり多く使用する予定である．ただし旅費に関しては状況次第では再び予定通りには使えなくなる可能性がある．
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