| 研究課題/領域番号 |
17K05305
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
北 直泰 熊本大学, 大学院先端科学研究部(工), 教授 (70336056)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 解の減衰評価 / 漸近挙動 / 爆発解 / 外貨の変動 / エリオット波動の原理 |
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| 研究実績の概要 |
中村能久氏（熊本大学）と行列値非線形シュレディンガー方程式の解の漸近挙動に関する共同研究を行った(雑誌Nonlinear and Linear Analysis の特別号に掲載予定)。これは、Hayashi-Naumkinの結果を行列値の未知関数をもつ方程式に適用したものである。未知関数が行列値の場合、「積の交換法則が無い」という特性がある。我々の成果では、交換法則の欠如が解の漸近挙動に与える影響を見出すことができた。特に、解の漸近主要項を特定するときに、修正因子の掛け方で工夫が必要になることが注目すべきところである(複素数値の場合と異なり、左側と右側の修正因子が必要になる)。
修士学生の松隈泰星氏（現在、三井住友銀行にて勤務）との共同研究では、FX投資を目指した研究を行うことができた(雑誌 Science Nature に掲載済み)。この研究の目的は、外貨価値の変動の中にElliott波動を見出すためのプログラムを作成すること、そして、PCによる結果が正当なものであることを判定する手法を追求することである。外貨価値の変動は複雑なので、それを折れ線で効率良く近似する必要がある。これは最小二乗法によって実現されるが、課題はPCによる結果が妥当なものかどうか判定法を見出すことであった。この課題を乗り越えるために、我々は「交点数の定理」を編み出した。その証明の際に、非線形シュレディンガー方程式のソリトン解の存在を保証するためのアイデア（制約条件付き変分法）が使用されている。
その他(まだ雑誌投稿中ではあるが)、清水翔之氏（神戸大学研究員）との共同研究で、δ関数を初期データにもつ連立非線形シュレディンガー方程式の解に対する漸近解析の結果、そして、非線形増幅項を有するシュレディンガー方程式の有限時間爆発解の存在（初期データが小さいにも関わらず）についても論文化することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成３０年度から熊本大学の教育システムにおいて「クォーター制」を導入することとなった。そのため、講義負担が少ないクォーターが生まれ、論文執筆やアイデアの創出、研究集会発表をしやすくなった。研究者の個性や研究スタイルに依存することかもしれないが、私個人としては週に２コマ程度の講義負担になると研究に持続的に専念できる時間が生まれて活動が捗るように感じられる。
さらに、熊本大学で月に１回程度開催されている応用解析セミナーで研究者を招へいして、共同研究の機会を得られるようになったことも作業が順調に進行している一因であると思われる。平成３１年度には、私が専門としている非線形シュレディンガー方程式に根差した研究をされている方々を熊本大学にお呼びする機会に恵まれた。そのお蔭で、新しい問題を見出すことができて、論文の執筆につなげることができた。
以上のように、「講義負担が軽減される期間（３か月程度）」と「同分野の研究者を招へいできる機会の創出」が、私の研究活動を順調たらしている要因であるように思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成３０年度の研究活動の途中で新しい問題に気づくことができた。それは、非線形シュレディンガー方程式の解の減衰オーダーの「最適性」に関する問題である。これの問題を荒く表現すれば、「異常に早く減衰する解は自明なもの（u=0）に限られるか？」という類のものである。この問題が解決できれば、光ファイバーで情報を搬送する際に、弱くなった光信号を増幅させる装置をいくつ準備すれば十分なのか見積もることができる。この点で産業とかかわりが深い問題であると考えている。この問題については平成３０年１１月に広島大学のworkshopにて、部分的な研究成果を既に公表している。このworkshopにて北海道大学のヨルダノフ氏に忠告を受けたのだが、同様の問題を非線形クライン・ゴルドン方程式やその他の非線形分散型方程式で考えてみるのも面白そうである。
星埜岳氏（電気通信大学）との共同研究で、短距離型非線形散逸項を有するシュレディンガー方程式について、大きな初期データに対する解の漸近挙動を特定するものが現在進行中である。星埜氏によって、空間１次元および２次元のときには、臨界ベキ付近まで非線形項のベキを下げて解の漸近挙動を特定できる。課題になっていることは、空間次元を３以上にして、臨界ベキ付近で解の漸近挙動を特定することである。そのために高次の重みをつけて時間大域的な評価を得る必要があるが、この部分がまだうまく乗り越えられていない（１次の重みであれば非常に良い時間大域的評価が得られているのだが…）。
和田健志氏（島根大学）との共同研究で、ベンジャミン・小野方程式の解の漸近展開に関する研究も現在進行中である。非線形項が短距離型であれば、和田氏のアイデアにより解の漸近展開ができている。しかし、長距離型の非線形項の場合になると、とたんに評価が煩わしくなるので、今のところ漸近主要項しか特定されていない。
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