固有正則写像に関するgap現象の幾何学的解明

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05308
• 研究機関: 長野工業高等専門学校
• 研究代表者: 林本 厚志 長野工業高等専門学校, 一般科, 教授 (90342493)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 固有正則写像 / 一般複素擬楕円 / gap定理

研究実績の概要

平成29年度には、一般複素擬楕円体の間の固有正則写像を分類した。
球はその自己同型群はコンパクトではない。その観点から一般複素擬楕円は球の弱擬凸領域版と見做すことができる。なぜなら一般複素擬楕円の自己同型群もコンパクトではなく、逆に自己同型群がコンパクトでない有界領域でレビ形式がある条件をみたせば、それは複素擬楕円であり、複素擬楕円の一般化が一般複素擬楕円であるからである。
先行研究として、次元の異なる球の間に固有正則写像があった時に、その写像を定義域と値域の自己同型写像の差を省いて分類するという研究がある。定義域と値域の次元の差があまり大きくないときには、全測地的埋め込みしかないということが示されている。次元の差が一定以上ならD'Angelo写像と呼ばれる写像しかない、ということが分かっている。この状況が一般複素擬楕円ではどうなっているかを調べることが目的であった。
得られた結果は次の通りである。一般複素擬楕円をいくつかの座標平面で切ると球面が現れるようなものとする。その球面の次元について、定義域と値域の次元の差は「あまり大きくない」とする。そのような一般複素擬楕円の間に固有正則写像が存在したとする。この写像を定義域と値域の自己同型写像の差を省いて分類すると、その同値類は一種類しか存在せず、それはある特別な単項式を成分に持つ写像あることが分かった。その写像はD'Angeloが球の間の斉次固有正則写像を分類するときに出てきたものである。この内容について、論文を執筆することができ、現在投稿準備中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

１、応募書類に書いた内容で、29年度にすべき事柄がほとんど計画通りに進んだ。
２、29年度に得られた内容を論文にまとめることができ、現在投稿準備中である。

今後の研究の推進方策

１、写像の分類については一応の決着はついた。今後は一般複素擬楕円の境界の性質を調べたい。
２、先ずは、臍点が存在するかを調べる。臍点とは、Chern-Moser曲率テンソル（略しててChernテンソル）が消える点のことである。このような点の近傍は球面と双正則同値になっている。予想としては、一般複素擬楕円の強擬凸境界部分では、どの点も臍点にはなっていないと思われる。
３、臍点が存在するか否かは、Monti-Morbidelliによる、Chernテンソルの表示式を使う。このテンソルがすべてゼロとすると、次元に関するいくつかの方程式が得らる。しかし未知変数（次元）に比べて式の方が圧倒的に多いため、それを満たす未知変数はゼロしか存在せず、矛盾である、という議論が使えると思われる。
４、もしこの議論がうまくいかないときは、Ebenfelt-Zaitsevによる、臍点の特徴づけを使う。これは実３次元超曲面に対するものであるが、一般複素擬楕円は変数が分離しているため、Ebenfelt-Zaitsevの議論が使えるのではないか、という予想ある。
５、その後は、臍点で定義されるWebster計量の完備性を調べることで、一般複素擬楕円の局所化原理を証明したい。
６、一般複素擬楕円だけでなく、次元の異なる楕円体の間の固有正則写像の分類を行いたい。また、楕円体の境界は臍点が存在しないことが分かっているので、そこで定義されるWebster計量の完備性を証明することで、楕円体の局所化原理を示したい。

次年度使用額が生じた理由

１、予定では2017年6月にイタリアのトレントで行われた複素解析の研究集会に参加する予定であった。しかし、どうしてもさけられない仕事が入ってしまったため出席することができなくなってしまった。そのため、次年度使用額が発生してしまった。
２、30年度は6月にイタリアのトレントでのCR幾何学の研究集会、7月に葉山での国際研究集会に参加し、9月にはポテンシャル論の研究集会がある。これらに加えて春と秋の日本数学会の年会にも参加する。冬には、毎年恒例の多変数関数論冬セミナーに参加する。これらの旅費として使用する計画である。