固有正則写像に関するgap現象の幾何学的解明

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05308
• 研究機関: 長野工業高等専門学校
• 研究代表者: 林本 厚志 長野工業高等専門学校, 一般科, 教授 (90342493)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 古典型領域 / Hua領域 / Cartan－Hartogs領域 / 固有正則写像

研究実績の概要

令和2年度では、Cartan-Hartogs領域と、その一般化であるHua領域の研究を行った。
１、「Ｈｕａ領域の間の2つの固有正則写像がそれぞれの領域の自己同型写像の差を省いて一致しているとする。そのような自己同型写像はどのような特徴があるか。」という問題を考えた。固有正則写像が原点を不動点に持つ多項式写像であるときには、そのような自己同型写像は原点を不動点に持つことが分かった。つまりAutomorphism同値ならIsotropicに同値であることが分かった。これはCartna古典型領域の場合の拡張になっている。
２，Hua領域の複素楕円体部分が一つのノルムで書かれている領域をCartanーHartogs領域という。そのような領域で次元が異なるものの間に固有正則写像が存在したとする。そのような写像を各領域の自己同型写像の差を省いて分類した。CartanーHartogs領域はCartan古典型領域の上に複素擬楕円体が乗っている領域であるが、古典型領域の種類により分類が決まる。タイプIの古典型の上に複素擬楕円体が乗っている場合は、複素擬楕円体部分は恒等写像と次元に合わせてゼロを加えた写像、古典型領域部分は行列として恒等写像とゼロ行列を合わせたものになっている。ここで使う手法は、Zaitsev-KimによるタイプI古典型領域の間の固有正則写像の分類である。それは領域のランクにより分類されるのであるが、私の研究対象としている領域の場合に当てはめると、分類は恒等写像に限ることが分かる。
タイプIVの古典型領域の場合は複素擬楕円体部分はタイプIと同じで、古典型領域部分はそのまま恒等写像になっていることが分かった。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

Cartan-Hartogs領域に対して写像分類問題を解くことができた。予定ではその一般化であるHua領域に対してそのような結果を得ることが目標であった。その点ではうまくいかなかったのであるが、得られた結果をHua領域に拡張する方法は見通しが立っているので、研究としてはおおむね順調に進んでいると思われる。また、Automorphism同値とIsotropy同値の関係は元々予定していなかった内容であり、それが得られたことは研究としては順調に進んだ。

今後の研究の推進方策

１，今後の予定としては、先ずは得られた結果をHua領域に拡張することである。ただ、今得られている証明をそのまま拡張することはできないと思われるが、やり方はわかっているので、それを先ずは行いたい。それができたら、より簡単な証明を考えたい。CartanーHartogs 領域のBergmann核からHua領域のBergmann核を得る方法でInflation原理というのがあるが、それを変形して使えないかと思っている。

次年度使用額が生じた理由

令和2年度はコロナウイルス蔓延のため、すべての研究集会がオンラインとなり、旅費として申請していた金額を使わなかった。そのため予定額と大きく異なってしまった。
令和３年度では古くなったパソコンの新規購入の計画がある。また、新しい分野を開拓するために図書の購入を新たに計画している。