2023 年度研究成果報告書

固有正則写像に関するgap現象の幾何学的解明

研究課題

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研究課題/領域番号	17K05308
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	解析学基礎
研究機関	長野工業高等専門学校
研究代表者	林本厚志長野工業高等専門学校, リベラルアーツ教育院, 教授 (90342493)
研究期間 (年度)	2017-04-01 – 2024-03-31
キーワード	固有正則写像 / gap 現象 / 複素擬楕円体
研究成果の概要	この研究ではgap現象が球以外の領域に対しても成り立つことがあるのか、もしあれば、その現象を幾何学的に説明できるか、ということを解明することが目標であった。特に弱擬凸領域として複素擬楕円体の場合を考えた。問題は「2つの次元の異なる複素擬楕円体の間に固有正則写像が存在したとする。このとき次元に依存して写像が分類できるか、その分類としてgap現象が起こるか」ということである。次の定理を得ることができた。「複素擬楕円体の定義関数に含まれる"ブロック"内の次元についてある条件を満たすとする。この時定義域と値域の自己同型写像を合成すると、元の写像は恒等写像にセロ写像を付け加えたものにできる」
自由記述の分野	多変数複素関数論
研究成果の学術的意義や社会的意義	・与えられた領域の間の正則写像を分類することは、以前からの大きな課題であった。領域に条件を付けたり、写像に条件を付けて分類することが行われてきた。例えば、「同じ次元球の間の固有正則写像は自己同型写像である。」「同じ次元の擬楕円体の間の固有正則写像は自己同型群の差を省くと恒等写像しかない」などである。この科研費による研究では、次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像の分類を行った。これは強擬凸領域の代表例である球の場合に成り立つ定理を、擬凸の場合に拡張したものになっている。擬凸領域に対するこのような定理はこれが最初のものと思われる。