| 研究実績の概要 |
レヴィ型マルコフ過程を含むような広いクラスの対称マルコフ過程に対する滑らかな測度の空間のポテンシャル論的性質について研究した。特に、有限エネルギー積分というクラスに属する滑らかな測度の空間が完備可分距離空間になることを証明し、そのクラスに対応する加法汎関数の列の局所一様収束性を証明した。さらに、有限エネルギー積分のクラスには属さないような滑らかな測度列に対応する加法汎関数列の局所一様収束性についても証明した。また、基礎となる対称化測度に絶対連続な場合の具体例を与えることにも成功した。本研究はレヴィ型マルコフ過程を加法汎関数の側面から解析するための指針となるものである。
次に、レヴィ型の対称マルコフ過程に関するジャンプ型加法汎関数の極限挙動を調べるために、対応する非局所的シュレディンガー作用素の臨界性の研究を行った。まだ現時点では全容はわかっていないが、ある程度の部分までは進んでおり、今後連続型加法汎関数の場合と同じような結果が得られると予想される。一般論で議論を進めているが、特に１次元の対称安定過程、1,2次元の相対論的安定過程についての場合に関するジャンプ型加法的汎関数の大偏差原理を証明するために、本研究を行っている。
最後に、緊密性を持つ対称マルコフ過程のスペクトル関数の微分可能性と加法汎関数の大偏差原理に関する結果を論文にまとめた。本研究はこれで一段落となるが、マルコフ過程に関する研究集会に出席し、いろいろな講演を聴き、緊密性を持つ対称マルコフ過程に関する極限挙動に関してまだわかっていない部分があることを知り、今後の研究の方針を定めるための参考とすることができた。
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