| 研究実績の概要 |
本研究では、「合成結び目型内にはメビウス・エネルギーの最小元は存在しないだろう。」というKusner-Sullivan予想解明に向けて、メビウスの分解エネルギーの離散化,O'Haraエネルギーの分解や余弦公式などを研究してきた。予想解明には勾配流の特異挙動を探る方法を考えていた。離散化は勾配流の数値計算を想定したものであった。しかしながら、メビウス不変という構造を保つためかなり複雑な離散化であり、研究協力者の矢崎より、数値計算に実装することが困難とされた。そこで計画を次のように若干修正した。Kusner-Sullivan予想が正しければ、合成結び目型を初期結び目とする勾配流は(有限時刻)爆発するはずという考えで研究を進め、勾配流に沿って曲げエネルギーが有界に保たれるなら、勾配流は爆発しないという状況証拠が挙がってきている。これは厳密に証明された訳ではない。そこで、結び目のプルタイトの簡易化モデルとして、平面閉曲線のループの退化を考え、曲線の非局所曲率流の爆発と曲げエネルギーの関連を調べることした。回転数が1の場合は初期曲線が凸でなくても大域的に解が存在するならば有限時刻で凸化し、最終的に円に収束する事を示した。この結果は査読付き雑誌に掲載済みである。一般回転数の場合の結果も得られ投稿中である。
結び目エネルギーについては、従来O'Haraの(α,1)エネルギーについて知られていた変分公式の評価を(α,p)エネルギーに拡張し査読付き雑誌に掲載された。(α,1)エネルギーについては分解定理が変分公式の評価に用いられたが、(α,p)エネルギーは分解定理が知られておらず新しい方法を開拓する必要があった。メビウスの分解エネルギーについては、第2エネルギーのエネルギー密度の別表示を見出し、これを用いて分解エネルギーの上界・下界評価と連続度評価が得られた。これも論文として投稿中である。
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