解析的手法によるメビウス・エネルギーの研究

2020 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05310
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 数学解析
• 研究機関: 埼玉大学
• 研究代表者: 長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: メビウス・エネルギー / O'Haraエネルギー / 分解エネルギー / 余弦公式 / 等周不等式 / 補間不等式 / 曲率流 / 凸化

研究成果の概要

「合成結び目型内にはメビウス・エネルギーの最小元は存在しないだろう。」というKusner-Sullivan予想解明に向け、メビウスの分解エネルギーの離散化、O'Haraエネルギーの分解や余弦公式などを研究した。Kusner-Sullivan予想が正しければ、合成結び目型を初期結び目とする勾配流は(有限時刻)でプルタイトを起こすはずと考えた。その簡易化モデルとして、平面閉曲線のループの退化を考え、曲線の非局所曲率流の爆発と解が大域である場合の漸近挙動を調べた。結び目エネルギーについては、従来O'Haraの(α,1)エネルギーについて知られていた変分公式の評価を(α,p)エネルギーに拡張した。

自由記述の分野

非線型解析学

研究成果の学術的意義や社会的意義

結び目のエネルギーは、与えられた結び目型内における標準形をエネルギー最小元で定めるためO'Haraにより導入され、今日ではO'Haraエネルギーと呼ばれている。その中のひとつがメビウス・エネルギーであり、メビウス変換によりエネルギーを変えないことが名前の由来である。メビウス不変性は幾何学的には美しい性質であるが、解析学的にはエネルギーのスケール不変性のために変分法の直接法が利用できないという困難さを生む。各結び目型内でのメビウス・エネルギーの最小元が存在するか否かは部分的解答しか得られていない。本研究は、メビウス・エネルギーの諸性質を解析学の手法で解明することを目的とした。