| 研究課題/領域番号 |
17K05311
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
佐々木 浩宣 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 非線型クライン・ゴルドン方程式 / ソボレフ空間 / 散乱作用素 / 散乱問題 / 調和解析 |
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| 研究実績の概要 |
令和２年度は主に、空間２次元の非線型クライン・ゴルドン方程式の散乱問題について研究した。非線形項f(u)は（a）uについて無限回微分可能であり、（b）uが小さいときはu^3のオーダーを持ち、（c）各偏導関数たちがexp(|u|^2)程度以下の増大を持つものとする。f(u)の典型例は「exp(|u|^2-1)u」という形である。
（背景）この方程式に関しては、「スケール臨界に相当するソボレフ空間H^1の意味で十分小さい初期データに対して時間大域解が一意に存在すること、逆波動作用素、波動作用素、散乱作用素がH^1の或る０近傍上において定義できること」が示されている。今回のテーマは、前述の散乱作用素を詳細に分析することである。非線形項の特性から「散乱作用素は、入力データの滑らかさを維持する」ことが容易に示される。しかし散乱作用素が「減衰のスピード」も維持するか否かは改めて証明する必要があり、先行結果は「空間３次元の３次非線型項の場合」が在るくらいである。
（主結果）昨年度は非線型項を「exp(|u|^2-1)u」に絞ったが、今年度は（a）～（c）を満たすような一般のf(u)について考察した。「入力データが急減少関数であるとき、それを散乱作用素で写した出力データも急減少関数となる」と「入力データが指数関数的に減衰し、更に入力データとf(u)が或る条件を満たしているとき、対応する出力データ（とその偏導関数たち全て）も指数関数的に減衰する」ことを示した。証明のキーとなるのは「クライン・ゴルドン方程式と相性の良い微分作用素」及び「重み付き微分作用素の精密な解析」である。この結果は学術論文として纏められ、国際学術雑誌へ投稿する予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第４年度としてはおおむね順調に進展していると考える。
当初の計画においては【「ハートリー項を伴った空間3次元の非線型シュレディンガー方程式に於ける散乱問題」に関する研究を行う。これらの研究に関係する関数空間の考察も行う。】というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要」において記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。
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| 今後の研究の推進方策 |
現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
その際に関数解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など）の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和２年度は新型コロナウイルスの関係で出張を中止し、在宅での研究活動を主とした故、書籍の購入など少額の支出に留まった。
（使用計画）
本研究では様々な分野（偏微分方程式、関数解析、数理物理）の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間２５冊程度（４０万円程度）購入する。本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須であり、１００万円程度の購入を計画している。本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として京都大学、北海道大学、東北大学が挙げられる。またタイミング次第で海外出張も行う。予算は４０万円程度である。
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