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2022 年度 実施状況報告書

非線型分散型方程式に於ける解の形状及び漸近挙動とそれに関連する関数空間

研究課題

研究課題/領域番号 17K05311
研究機関千葉大学

研究代表者

佐々木 浩宣  千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (00568496)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2024-03-31
キーワード散乱問題 / 非線型分散型方程式 / クライン・ゴルドン方程式 / ベゾフ空間
研究実績の概要

令和4年度は主に、空間3次元の半相対論的ハートリー方程式の散乱問題について研究した。この方程式は、クライン・ゴルドン方程式に「ハートリー項を1階微分した」非線型項が備わったものと深い関連がある。
(背景)空間3次元の半相対論的ハートリー方程式については、ハートリー項の主軸を成す「相互作用ポテンシャル」が(適切な条件を課した)リースポテンシャルもしくは湯川ポテンシャルとなるとき、適当なヒルベルト空間(ソボレフ空間)Xの或る0近傍上において散乱作用素が定義されることが既に証明されている。今回のテーマは、前述の散乱作用素を詳細に分析することである。非線型項の特性から、「散乱作用素は、(Xの意味で十分小さい)入力データの滑らかさを維持する」ことが容易に示される。しかし散乱作用素が「入力データの減衰スピード」も維持するか否かは改めて証明する必要がある。
(主結果)今年度は、「遠方で多項式(の逆数)より速く減少する」相互作用ポテンシャルを設定した半相対論的ハートリー方程式を考察し、「入力データが急減少関数であるとき、それを散乱作用素で写した出力データも急減少関数になること」を証明した。証明のキーワードは「端点ストリッカーツ型評価」「非斉次ベゾフ空間を用いた不等式」「入力データと相互作用ポテンシャルに依存して定まる適切な関数空間」である。これらの結果は学術論文として纏められ、国際会議報告へ投稿した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

おおむね順調に進展していると言える。
当初の計画(第5年度)においては、【「線型摂動項が加わった非線型シュレディンガー方程式の散乱問題及び解の平滑化効果」に関する研究を行う。これらの研究に関係する関数空間の考察も行う。】というテーマを設定した。上部の「研究業績の概要において」記載した結果は、このテーマと大いに関連があり、本来の目的達成に大きく寄与する可能性がある。

今後の研究の推進方策

現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
その際に関数解析学(フーリエ解析、バナッハ空間の補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論、リーマン幾何学など)の深い洞察が必要となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションについても随時実行する。横断的な研究になるので、それぞれの専門家との議論を活発に行う。

次年度使用額が生じた理由

令和4年度は新型コロナウイルスの関係で幾つかの出張を中止し、研究室での研究活動を主とした故、書籍の購入など少額の支出に留まった。
(使用計画)
本研究では様々な分野(偏微分方程式、関数解析、数理物理)の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間10冊程度(20万円程度)購入する。本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須であり、20万円程度の購入を計画している。本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として京都大学、北海道大学、東北大学が挙げられる。またタイミング次第で海外出張も行う。予算は25万円程度である。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2023 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Remark on the scattering operator for the two-dimensional nonlinear Klein-Gordon equation with exponential nonlinearity2023

    • 著者名/発表者名
      H. Sasaki
    • 雑誌名

      Kyushu J. Math.

      巻: - ページ: -

    • 査読あり
  • [備考] 研究活動

    • URL

      http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~sasaki/J-re.html

URL: 

公開日: 2023-12-25  

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