| 研究課題/領域番号 |
17K05319
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
足立 匡義 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (30281158)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 散乱理論 / スペクトル理論 / 電磁場 / 多体量子力学系 / シュレーディンガー作用素 |
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| 研究実績の概要 |
板倉恭平氏、伊藤健一氏（共に神戸大学）、Skibsted氏（Aarhus大学）との共同研究で、Rellichの定理、極限吸収原理、超局所レゾルベント評価など、多体シュレーディンガー作用素のスペクトル理論における重要な題材に対して、それらの証明の新たな枠組を開発した。これまではMourre理論の枠組でこれらの題材に関する研究が進められることが多かった。その際、シュレーディンガー作用素とconjugate operatorとの二重交換子の取り扱いにおいて、解析上の困難が生じていた。ポテンシャルの特異性と二重交換子の制御が相剋するからである。新たな枠組のおかげで、ポテンシャルに課すべき条件をこれまでよりも緩められ、更に証明がより系統的になった。
また、清瀬周氏（神戸大学）との共同研究で、定電場と定磁場双方が印加されている空間内にある多体量子力学系に対して、その運動を支配するハミルトニアンによって生成される時間発展作用素に対するAvron-Herbst型の公式の、簡便な導出法を開発した。この公式自体は既にSkibsted氏により得られていた。Avron-Herbst型の公式とは、定電場の、磁場に直交する成分をゼロにしてできるハミルトニアンによって生成される時間発展作用素と、元のハミルトニアンによって生成される時間発展作用素との関係を示す公式である。その時間依存のユニタリーな因子として、荷電粒子のドリフト運動を記述するGalilei変換を掛け合わせてできるユニタリー作用素が用いられていた。系内の粒子が全て荷電している場合にはこの定義は自然であるが、系に非荷電粒子が混じっている場合には人工的である。我々は、系の重心に注目することでその欠点を解消した。この方法は、磁場に直交する平面に粒子の運動が制限されていても通用する。
前者はプレプリント、後者は執筆準備中の段階である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究実績の概要のところで述べた、清瀬周氏との共同研究についてであるが、実は、電場の方は、定電場の代わりに、時間周期的な変動をする、空間的に一様な電場を印加した場合の問題も同時に考察していた。こちらの問題では、系内の粒子の比電荷が全て等しい場合を除くと、Avron-Herbst型の公式として有用なものを得るのは容易ではなく、当該年度内に一定の結論を得ることができなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
板倉恭平氏、伊藤健一氏、Skibsted氏との共同研究については、外力場として定電場が印加された場合、すなわちStark効果がある場合に対して、理論の拡張を目指すべく研究を進める。清瀬周氏との共同研究については、現在までの進捗状況のところで述べたように、時間周期的な変動をする、空間的に一様な電場が、定磁場と共に印加されている場合に、有用なAvron-Herbst型の公式を導出し、その公式を散乱問題に応用するべく研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度に海外からの研究者１名を招聘する予定であったが、本学の数理解析研究所に客員教員としてSkibsted氏が２０１７年８月下旬から１２月下旬までの４ヶ月ほど滞在することとなり、こちらの科研費で他にも海外研究者を招聘する必要はなく、次年度に先送りすべきであると判断した。２０１８年１２月に数理解析研究所で開かれる研究集会『スペクトル・散乱理論とその周辺』の講演者として海外からの研究者を招聘することに使用したいと考えている。
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