研究課題
放物型偏微分方程式の初期値境界値問題において、時間微分を含む境界条件（力学的境界条件もしくは動的境界条件と呼ばれる）を課した問題が注目されている。領域内部だけでなく領域の境界上においても力学系を考慮するこの種の問題に対して、尺度の異なる力学系間の接合問題を1つの勾配系として包括的に適切性を解決する抽象発展方程式の手法が近年用いられ始めた。今年度は、相分離現象を記述するカーン-ヒリアード方程式について、最適制御問題に対する粘性項付き近似からの接近の手法を領域内部と境界上でカーン-ヒリアード方程式を考察する問題に応用した。二重井戸型ポテンシャルが十分に滑らかな場合、境界上の熱源を制御項とし、コスト汎関数を最小とする最適制御の存在、粘性項付き問題の近似最適制御の収束定理、ならびに最適制御に対する粘性項付き問題による特徴付け定理を得た。内部の積分量と境界上の積分量の和が保存するという「総体積保存則」を利用し、適切な関数空間や双対写像を用意し、対応する共役な問題を考察することが証明の鍵となった。また、最適制御に対する粘性項付き問題による特徴付け定理では、対象となる最適制御を利用して再定義される改良コスト汎関数を用いることが重要であった。数値アルゴリズムに関して、領域内部でカーン-ヒリアード方程式、境界上でアレン-カーン方程式となっている問題について、構造保存数値計算の手法を適応し、導出されたアルゴリズムについて解の存在と一意性に関する理論的結果、ならびに数値計算結果を得た。
2: おおむね順調に進展している
最適制御問題に対する粘性項付き近似からの接近の手法は領域内部でカーン-ヒリアード方程式、境界上でアレン-カーン方程式となっている問題に適応されていた。今年度対象としたカーン-ヒリアード方程式系については、発展方程式の抽象論に従って適切性を得ていたため、本質的な構造は同じである事が確認されていた。そのため、今年度は当初計画した通り、順調に研究が進展した。
領域内部でカーン-ヒリアード方程式、境界上でアレン-カーン方程式となっている問題についても構造保存数値計算の手法を適応し、導出されたアルゴリズムについて解の存在と一意性に関する研究を引き続き行う。Log型ポテンシャルを持つカーン-ヒリアード方程式に関する漸近挙動の結果を得るには、純粋相からの分離定理が証明の鍵となることが明らかになってきた。そこで、領域内部と境界上でカーン-ヒリアード方程式を考察する問題においても同様の結果を得ることを、今後の第一目標とする。
購入予定であった図書のための物品費を翌年度に持ち越すため。
すべて 2018 2017
すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (10件) (うち国際学会 4件、 招待講演 6件)
"Solvability, Regularity, Optimal Control of Boundary Value Problems for PDEs", Springer INdAM Series, Springer, Cham
巻: 22 ページ: 255～280
10.1007/978-3-319-64489-9_10
Communications on Pure and Applied Analysis
巻: 16 ページ: 1915～1938
10.3934/cpaa.2017093
