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2018 年度 実施状況報告書

総体積保存則に拘束される偏微分方程式と発展方程式による抽象論的接近

研究課題

研究課題/領域番号 17K05321
研究機関京都教育大学

研究代表者

深尾 武史  京都教育大学, 教育学部, 教授 (00390469)

研究分担者 愛木 豊彦  日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワード発展方程式 / 非線形偏微分方程式 / 動的境界条件
研究実績の概要

今年度はCahn-Hilliard方程式系において、化学ポテンシャルの方程式の単調非線形項以外を近似項と見なし、極限操作によって退化放物型方程式への接近を試みた。
Cahn-Hilliard方程式系は相変数と化学ポテンシャルの連立系であり、化学ポテンシャルの主方程式は非線形項を含む楕円型方程式となっている。より詳しく、拡散項、非線形単調項、非単調項、外力からなる。これらのうち拡散項と非単調項を近似項と見なし、これらの項を近似変数と共に消滅させることで、形式的に退化放物型方程式など、相変数に対する非線形単調項を拡散項に持つ偏微分方程式に接近することが期待できる。これを様々な境界条件下、時間微分を弱いクラスで捉える弱解の枠組みで可解性を議論した。また、近似方程式と極限の方程式の差から、一様評価を応用することで誤差評価に関する結果を得た。
力学的・動的境界条件の下でも同様に退化放物型方程式の可解性が議論できるが、一方で抽象発展方程式による可解性の議論も可能である。単調項に対する増大条件を課すことで既存の抽象理論を可解性の議論に応用できることを示した。既存の発展方程式の抽象理論においては関数空間として時間微分が入る適切な共役空間に選び、単調項に対する増大条件を利用して凸関数の下半連続性を導出することで、凸関数の劣微分に支配される発展方程式の抽象理論を応用することができる。増大条件がこの種の取り扱いに重要な仮定となることがあらためて明らかになった。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

力学的・動的境界条件下のCahn-Hilliard方程式に対する適切性の議論を通じて、新たな「退化放物型方程式への接近に関する手法」が見つかった点が研究成果として十分に評価でき、研究計画全体として順調に進展していると評価できる。

今後の研究の推進方策

今後の推進方策として、これまでに築き上げた手法を、力学的・動的境界条件の下でのCahn-Hilliard方程式系や、Allen-Cahn方程式系の適切性の証明へ応用を試みる。

次年度使用額が生じた理由

当初、計画していた以上に旅費の使用が必要になり、謝金の発生を抑え微調整したため。翌年度の謝金及び旅費として微調整分を使用する。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Nonlinear diffusion equations with Robin boundary conditions as asymptotic limits of Cahn-Hilliard systems2018

    • 著者名/発表者名
      Fukao Takeshi、Motoda Taishi
    • 雑誌名

      Journal of Elliptic and Parabolic Equations

      巻: 4 ページ: 271~291

    • DOI

      10.1007/s41808-018-0018-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Nonlinear diffusion equations as asymptotic limits of Cahn-Hilliard systems on unbounded domains via Cauchy's criterion2018

    • 著者名/発表者名
      Fukao Takeshi、Kurima Shunsuke、Yokota Tomomi
    • 雑誌名

      Mathematical Methods in the Applied Sciences

      巻: 41 ページ: 2590~2601

    • DOI

      10.1002/mma.4760

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Abstract approach to degenerate parabolic equations with dynamic boundary conditions2018

    • 著者名/発表者名
      Fukao Takeshi、Motoda Taishi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematical Sciences and Applications

      巻: 27 ページ: 29~44

    • 査読あり
  • [学会発表] GMSモデルに対する長時間挙動と純粋相からの分離定理について2019

    • 著者名/発表者名
      深尾武史、Hao Wu
    • 学会等名
      日本数学会 2019 年度年会 実関数論分科会
  • [学会発表] Perspectives in nonlinear diffusion equations as asymptotic limits of Cahn-Hilliard systems2018

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Fukao
    • 学会等名
      The 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications
    • 国際学会
  • [学会発表] 総体積保存則に拘束される偏微分方程式と発展方程式による抽象論的接近2018

    • 著者名/発表者名
      深尾武史
    • 学会等名
      日本数学会 2018 年度秋季総合分科会 応用数学分科会
    • 招待講演
  • [学会発表] GMSモデルに対する大域解と純粋相からの分離定理について2018

    • 著者名/発表者名
      深尾武史、Hao Wu
    • 学会等名
      第44回発展方程式研究会

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公開日: 2019-12-27  

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