| 研究課題/領域番号 |
17K05325
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
伊藤 健一 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (90512509)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 数理物理 / 偏微分方程式論 / 差分作用素 / シュレーディンガー方程式 / 閾値レゾナンス / 多体問題 / スペクトル理論 |
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| 研究実績の概要 |
1. 放射状グラフの上のシュレーディンガー作用素に対する閾値共鳴の完全分類
有限グラフにいくつかの離散半直線をつないだ「放射状グラフ 」の上の離散シュレーディンガー作用素に対し，そのレゾルベントの閾値周りでの漸近展開を計算した．これにより，漸近展開の展開係数と一般化固有関数の遠方での増大度との間に完全な対応関係があることを示し，特に，閾値共鳴状態を一般化固有関数の遠方での増大度のみを用いて定式化することに成功した．これは，これまで研究代表者自身によって得られていた離散直線および離散半直線上の結果の拡張である．レゾルベント展開の計算は，これまでと同様に，Jensen-Nenciuの展開スキームを最も一般の場合に適用することで行われるが，本研究では都合の良い適切な自由系を選択する点にポイントがある．実際これにより，計算量を，最も簡単な離散半直線の場合とほぼ同じくらいにまで減少させることができる．
2. N体シュレーディンガー作用素に対するスペクトル理論
ユークリッド空間上のN体シュレーディンガー作用素に対して，新しい交換子評価法を確立した．これを用いることにより，レーリッヒの定理，極限吸収原理，超局所レゾルベント評価，超局所ゾンマーフェルト一意性定理といった，スペクトルの性質に関連する一連の結果を，自然と考えられる最小限の仮定の下で導出することに成功した．特に，レーリッヒの定理を空間遠方だけの情報で定式化した点，粒子間相互作用に一般の短距離型ポテンシャルおよび形式相対有界ポテンシャルを含められる点，極限吸収原理の評価において微分不等式ではなく背理法を用いる点は，研究代表者の知る限り，新しい研究成果であり，当該の研究領域における重要な進展と考えられる．証明は，研究代表者自身によって多様体上で得られていた手法を，適切に修正して応用することで行われる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
これまでに研究代表者が開発した多様体上での手法を，ユークリッド空間上での問題に適用することで，当該の研究領域においてある種の本質的な進展が得られたと考えている．これは研究計画で言及した研究領域とはやや異なる研究領域ではあるが，進展の大きさから考えると，研究は当初の計画以上に進展していると判断される．
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| 今後の研究の推進方策 |
得られた研究結果のさらなる応用と展開を模索しながら，同時に研究実施計画に記載された内容についての研究を推進していく予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
おおむね計画通りに経費を使用しており，生じた次年度使用額は実費との差額である．次年度も実費との差額が出ることが予想されるため，その調整に使用する予定である．
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