| 研究課題/領域番号 |
17K05325
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
伊藤 健一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90512509)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 数理物理 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度には短距離型摂動を持つStarkハミルトニアンに対し，主に以下の2つの研究を行った．
1. 定常的散乱理論と一般化固有関数
定常的散乱理論を構成し，さらにその応用として一般化Fourier変換の構成および一般化固有関数の漸近挙動の散乱行列による特徴付けを得た．これらの議論では放射条件評価の指数の大きさが重要な役割を果たすが，前年度に考案した手法を用いることで最良型の評価を導くことに成功した．そこでは2階の微分作用素に対する交換子法が用いられ，これはこれまでの1階の微分作用素を用いる交換子法とは本質的に異なるものと考えられる．なおこの方法は長い交換子計算を必要とし，一見技巧的でもあるが，古典力学のレベルにおいても明確な対応物を考えることができ，極めて自然なものである．よってより広い設定の下への応用や拡張が期待され，次年度以降も引き続き研究を進めていく予定である．
2. 散乱行列の超局所構造
定常的散乱理論と時間依存的散乱理論の同等性を示し，さらに散乱行列の擬微分作用素表示を得た．上記1含めここでの散乱行列は放物座標系を用いて定式化される．また擬微分作用素の表象は，摂動項の古典軌道上での積分から計算することができ，原理的には任意の次数の漸近展開を計算することが可能である．これらの証明には，上記1の結果に加え，Fourier-Airy変換に対応する振動積分が用いられる．Fourier-Airy位相関数を用いることで，近似一般化固有関数のより自然で精密な超局所的構成が可能となる点が議論の鍵である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度に考案した交換子法を別の設定の下に適切に応用することができ，今後のさらなる応用が期待されるため，おおむね順調に進展していると判断される．
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| 今後の研究の推進方策 |
放射条件評価を起点とした散乱理論の再編を目標とする．また研究実施計画に記載された内容についても研究を進めていく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症（COVID-19）の影響により当該年度における計画通りの予算執行が困難であった．次年度には必要物品の購入や旅費等に充てる予定である．
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