| 研究課題/領域番号 |
17K05325
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
伊藤 健一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90512509)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 数理物理 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 / 差分作用素 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度には主に以下の2つの研究を行った．
1. 離散Schrodinger作用素に対する基本解の構成
一般次元超立方格子上の離散Laplace作用素に対し，組み合わせ論的な方法を用いて，すべての基本解を構成することに成功した．基本解は一般に一意ではなく，そのうちで無限遠方において適切な漸近挙動を持つもの（格子Green関数）が物理的な意味を持つ．低次元空間の場合，さらに付加的な情報を用いることで，基本解の集合から格子Green関数を抜き出すことができ，それは一般に知られているものと一致することが確かめられた．一方で，高次元では対応する付加的な情報を利用することができないため，格子Green関数を抜き出すことにはまだ成功していない．それゆえ，この結果はまだ発展途上と言え，次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．
2. 複素パラメータに対する指数重み付き極限吸収原理
Euclid空間上のSchrodinger作用素に対し，そのレゾルベントの複素スペクトルパラメータにおける極限吸収原理を示すことができた．レゾルベントを考える関数空間としては指数重み付きAgmon-Hormander空間を用いており，これは最良の空間であると考えられる．証明には，これまでの研究でもたびたび利用してきた交換子の方法を用いるが，非自明な使い方をする箇所があり，一定の新規性があると考えられる．対応するRellichの定理の証明は困難であり，今のところ未完成である．また具体的な応用も今のところ見つかっていない．そのため，この研究もまだ発展途上と言える．次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
いくつかの本質的な研究成果が得られてたと考えているが，論文として公表するには，やや不十分であり，もう少し議論を詰め，適切な応用を提示する必要があると考えている．そのため，現在の進捗状況はやや遅れていると判断される．
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| 今後の研究の推進方策 |
当該年度に得られた結果をなるべく早く論文として公表し，次の研究課題に取り組むように努める予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症（COVID-19）の影響により当該年度における計画通りの予算執行が困難であった．次年度には必要物品の購入や旅費その他に充てる予定である．
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