| 研究実績の概要 |
物体内部の空洞の幾何学的情報を, 物体表面上の一組の熱流束と対応する温度場の有限時間にわたるデータから抽出する問題について支配方程式が熱方程式であるとして考察した. 得られたのは次の二つの知見である. (1) 波動方程式の初期値問題を解いて得られる解の物体表面上におけるノイマンデータに比例した熱流束を与えると, 前年度展開した囲い込み法では空洞の情報が指示関数の漸近挙動の主要項から抽出できない. (2) (1)で用いた波動方程式にパラメータを入れて伝搬速度を無限大に持っていくときある増大の仕方をさせたときのみ空洞の幾何学的情報が得られる.
次に, 波動方程式で記述される物体内の障害物の幾何学的情報を物体表面上の一組の有限時間にわたるデータから抽出する問題について囲い込み法を用いて考察した. その結果波動方程式の時間反転不変性を積極的に利用して未知の障害物を含む任意の点を中心とした最小の球の半径を求める公式を確立した. さらにこの考えを熱方程式で記述される物体内部の空洞に対する類似の逆問題で展開した.熱方程式は有限伝搬性がなくさらに時間反転不変性もないが, 補助の, パラメータを含んだ波動方程式の初期値問題を考え, その解の時間反転から作られるうまい熱流速を与えると, パラメータ無限大で, 対応する表面温度場から未知の障害物を含む任意の点を中心とした最小の球の半径を求める公式を確立した. 時間反転不変性がなくともうまい熱流束を与えれば波動方程式と同じ結果が得られるのである.
2層問題における時間領域における囲い込み法を単独の波動方程式に対して伝搬速度に制限を付けない形で実現できた. これはいよいよMaxwell方程式系に対する2層問題の考察に対しての準備が整ったということである.
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