| 研究課題/領域番号 |
17K05333
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
猪奥 倫左 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (50624607)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 非線形解析 / 非線形熱方程式 / 自己相似解 / 楕円型偏微分方程式 / 特異解 |
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| 研究実績の概要 |
非線形問題においては、解の値が有限時刻で無限大に発散したり、初期値や方程式に含まれるパラメータをわずかに変えるだけで解の挙動や性質が劇的に変化するような現象が多く知られている。そのような現象に対する考察では、スケール不変性などの方程式のもつ性質や、定常問題の解構造が重要な働きをする。本研究では、非線形放物型偏微分方程式および、その定常問題である非線形楕円型偏微分方程式に対して、解の特異性と解構造について考察を行う。
今年度は、べき乗型の非線形項を持つ非線形熱方程式の解の漸近的性質について考察を行った。本研究では、初期関数が自己相似解のオーダーで減衰するCauchy 問題を考え、解の時間大域挙動が、初期関数の空間無限遠方での挙動で決定されることを明らかにした。この方程式においては、空間次元が１１次元以上かつべき乗の指数がJoseph-Lundgren の指数より大きい場合、初期関数に応じて複雑な挙動を持つことが知られている。本研究の結果と初期関数に関する連続依存性を用いることにより、３次元以上の空間においては、自己相似解の減衰スケールにおいて、初期関数に応じて複雑な挙動を持つ解の構成をすることができ、類似の現象を捉えることができた。
非線形楕円型偏微分方程式の特異解の性質について考察を行った。本研究では、優Sobolev 臨界指数を持つ非線形問題に対して特異解の存在・一意性を示し、さらに有界な解の極限として特異解が得られることを示した。さらに、安定最小解の臨界に現れる極解が特異的であるかどうかという問題の考察を行い、特異解が極解であるための必要十分条件を導いた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形楕円型偏微分方程式の解構造および非線形放物型偏微分方程式の時間大域解の漸近挙動において、Sobolev 臨界指数、 Joseph-Lundgren 臨界指数の及ぼす影響を捉えることができた。とくに非線形楕円型偏微分方程式において優Sobolev 臨界における特異解の特徴付けが得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
優 Sobolev 臨界における非線形楕円型偏微分方程式の分岐問題に着手し、その性質を明らかにするとともに、関連する放物型偏微分方程式に対しても研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
非線形楕円型方程式の特異解の性質について、新しい知見が得られ、その詳細に及ぶ理解のため時間を費やした。そのため、２９年度に予定していた研究打ち合わせを３０年度に行うこととしため、２９年度の研究打ち合わせ旅費が次年度使用額として生じた。２９年度に予定していた研究打ち合わせを３０年度に行うことにより使用する予定である。
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