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非線形問題においては、解の値が有限時刻で無限大に発散したり、初期値や方程式に含まれるパラメータをわずかに変えるだけで解の挙動や性質が劇的に変化するような現象が多く知られている。そのような現象に対する考察では、スケール不変性などの方程式のもつ性質や、定常問題の解構造が重要な働きをすることが知られている。本研究では、非線形放物型偏微分方程式および、その定常問題である非線形楕円型偏微分方程式に対して、解の特異性と解構造について考察を行った。
今年度は、優 Sobolev 臨界非線形項を持つ楕円型方程式における特異解の存在、一意性、漸近的性質について考察を行った。非線形項が、べき乗に摂動が加わる場合、あるいは指数関数に摂動が加わる場合、それぞれの場合に、特異解の存在、一意性、漸近的性質を示すことができた。先行研究では、摂動についてのオーダーを指定する必要があったが、本研究では、Banach 空間における不動点定理を用いる代わりに Pohozaev 型恒等式および先験的評価を利用することによりオーダーの指定なしで解の存在と漸近的性質を同時に示すことができた。この応用として非線形楕円型偏微分方程式に対する分岐問題に対して特異解をもつ分岐パラメータは一意であること、解の最大値パラメータを無限大にすると特異解に収束することを明らかにすることができた。さらに全空間における特異解の一意存在性と有界領域における特異解の存在性に関する相互補完的な性質を明らかにした。
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