| 研究課題/領域番号 |
17K05334
|
|---|
| 研究機関 | 宮崎大学 |
|---|
研究代表者 |
辻川 亨 宮崎大学, 工学部, 教授 (10258288)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
|
| キーワード | 反応拡散方程式 / 特異摂動法 / 分岐理論 / 比較原理 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究の目的の１つは、反応拡散方程式の定常解や周期解、及びその安定性を含めた解構造を決定することである。１つの例として、有界区間でNeumann境界条件のもと非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式(ACN)の定常解の構造について、拡散係数とL^1量をパラメータとして、分岐理論と完全楕円積分による解表示を用いて考察した。定数解から1次分岐が起り対称解が出現し、拡散係数が零まで解が大域的に存在すること、一方その過程で2次分岐が起り非対称解が出現し、拡散係数が零までこちらも存在することを示した。今年度は1次分岐解である対称解の安定性を議論した。その結果、1次分岐直後の解は不安定であるが、2次分岐点を過ぎると安定性を回復する。また、線形化固有値問題において固有値はすべて実数であり、最大固有値のみが正から負に2次分岐点を過ぎるとこで符号を変化させ、それ以外の固有値はすべて負となる。方程式の定常解を用いて線形化固有値問題の固有関数が表示できるという事実に基づいて証明した。２次分岐解の安定性について、特異極限法により拡散係数が十分小さい場合には実部が正の固有値がただ１つ存在することを示した。
次に、２つの対立する遺伝子をもつ生物の個体数変化を記述する”完全優位性”の場合のモデルの１つがNagylakinにより提唱された。このモデルは、空間依存性のある退化型Logistic増殖項をもつ単独反応拡散方程式である。空間依存の条件を符号が変化する関数として導入し、その積分条件により定常解の存在及び安定性が議論されている。そこで、パラメータ付きの具体的な関数を用いることで、すでに得られた解をこのパラメータに関する定数解からの分岐としてとらえることを目指す。今回分岐点の位置を具体的に求めることができた。また、符号が１回および２回変化する場合の数値計算を行い、複雑な解構造を得た。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に存在する。一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、これも拡散係数が零まで存在する。対称解の安定性はすべて示しているが、２次分岐解である非対称解の安定性の議論が残されている。
一方、ディリクレ境界条件のもとでの同様の問題について、これまでの研究成果を応用できると考え研究を進めている。境界条件は異なるが、完全楕円積分を用いた解表示は可能であると予想している。また、大域的な解構造を数値的に求めているが、通常の分岐理論では扱うことができない新たな問題も含まれている。
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式の定常解の大域的構造を決定する問題について、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるがその後不安定化することを求めた。この時Hopf分岐により安定な周期解が出現すると予想され、これも２次分岐現象と捉えることができる。しかし、１次分岐点から離れているため一般的に解析が難しい問題であるが研究を進めている。この周期解の出現と関連して、走化性モデル方程式の別の縮約系(Shadow System)から弛緩振動現象を数値的に得ている。同様の問題について、ある種の条件を仮定した場合の理論的な結果はすでに公表されているので、Shadow Systemという方程式の特性を生かして、この仮定を課さないで証明を試みる。解に関する順序保全系ではないが、その考え方を応用した証明方法で進めている。
以上のことから、研究の進捗状況はおおむね良好であると判断できる。
|
| 今後の研究の推進方策 |
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで存在する。一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に解が存在すること、及び対称解の安定性を示した。一方、2次分岐解の安定性については、拡散係数が小さい場合を除いて安定性を示していない。目標は2次分岐解はすべて不安定であることを示す。そのための準備として、完全楕円積分を用いた非対称解の表示を求め、拡散係数に関する解の一意性、及び2次分岐がsubcriticalであることも示す。これにより分岐点近傍で分岐解が不安定であることを求める。一方、適切な解空間の設定と拡散係数が小さいところでの固有値の分布を用いて、degree Theoryにより、すべての2次分岐解が不安定であることを示す。
ディリクレ境界条件のもとでの同様の問題の考察を進めている。境界条件が異なるが、完全楕円積分を用いた解表示は可能であると予想している。大域的な解構造を数値的に求めているが、通常の分岐理論では扱うことができない新たな問題も含まれている。
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式について、定常解の大域的構造を決定するために、ある種のエネルギー量が十分小さい場合に定常解の最大値が発散しないことを示す必要がある。そのために解の陰的表示を詳細に評価する。一方、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるがその後不安定化する。この時Hopf分岐により安定な周期解が出現することを数値的に求めた。これも２次分岐現象と捉えることができるが、１次分岐点から離れているため一般的に難しい問題である。そこで２次分岐点を移動させる新たなパラメータを導入するなどの方法で解析を試みる。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
繰越金が生じた理由は、年度末に計画していた研究集会開催のための経費及び出張がコロナウイルスの影響で中止になったことが主な原因である。
中止となった研究集会の開催などを予定しており、次年度の計画を実行することで予算執行は可能である。
|
