| 研究課題/領域番号 |
17K05334
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
辻川 亨 明治大学, 研究・知財戦略機構(生田), 研究推進員(客員研究員) (10258288)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 反応拡散方程式 / 定常問題 / 分岐構造 / 楕円積分 / 特異極限法 |
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| 研究実績の概要 |
自然現象を記述する数理モデルの中で反応拡散方程式について、その定常解や周期解、及びその安定性を含めた解構造を決定することは重要な問題である．典型的な例として、有界区間でNeumann境界条件のもと、非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の定常解の構造について、拡散係数とL^1量をパラメータとして、分岐理論と完全楕円積分による解表示を用いて考察してきた．この方程式の解法は反応拡散系の解構造を解明する端緒となる重要な問題でもある．
本研究では、定数解から1次分岐が起り対称解が出現し、拡散係数が零まで解が大域的に存在すること、その過程で2次分岐が起り非対称解が出現し、それもまた拡散係数が零まで存在することを示した．昨年度は1次分岐解である対称解について、1次分岐直後の解は不安定であるが、2次分岐点を過ぎると安定性を回復することを示した．２次分岐解の安定性について、拡散係数が十分小さい場合には不安定であることを証明した．今年度は、これまでに得られた手法を用いて、細胞極性モデルを考察した．定常問題については、制限された状況で非局所項を含む楕円型方程式となることから、楕円関数を用いて解を具体的に表示することができ、これにより定常解の安定性を議論した．
２つの対立する遺伝子をもつ生物の個体数変化を記述する”完全優位性”の場合のモデルの１つがNagylakinにより提唱された．このモデルは、空間依存性のある退化型Logistic増殖項をもつ単独反応拡散方程式である．空間依存の条件を符号が変化する関数として導入し、その積分条件により定常解の存在及び安定性が議論されている．そこで、パラメータ付きの具体的な関数を用いることで、すでに得られた解を定数解からの分岐解として数値計算により捉えた。また、拡散係数をパラメータとして変化させることにより、定数解が安定性を失うことを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo（ACN)方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に存在する．一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、これも拡散係数が零まで存在する．対称解の安定性はすべて証明しているが、２次分岐解である非対称解の安定性の議論が残されている．特に2次分岐点から離れたところでの解の安定性を議論することは困難な場合が多い．
今年度は細胞極性モデルの定常解の大域的構造の解明にも着手した．制限された状況では非局所項を含む楕円型方程式となり、これまでの解析手法を適応することができた．しかし、ACN方程式とは異なり解構造の対称性が壊れることから、2次分岐点近傍ではtranscritical分岐となることなどの新たな結果を得ている．
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式の定常解の大域的構造を決定する問題について、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるがその後不安定化することを示した．この時、Hopf分岐により安定な周期解が出現すると予想され、これも２次分岐現象と捉えることができる．しかし、１次分岐点から離れているため一般的に解析が難しい問題である．この周期解の出現と関連して、走化性モデル方程式の別の縮約系(ShadowSystem)から弛緩振動現象を数値的に得ている．同様の問題について、ヘテロクリニック軌道の存在を仮定した場合の結果はすでに公表されているが、ShadowSystemという方程式の特性を生かして、この仮定を課さないで証明を試みる．解に関する順序保全系ではないが、その考え方を応用した証明方法で進めている．
以上のことから、研究の進捗状況はおおむね良好であると判断できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
非局所項を持つAllen-Cahn-Nagumo方程式の解構造について、定数解から1次分岐が起こり対称解が出現し、拡散係数が零まで存在する．一方、その過程で2次分岐が起こり非対称解が出現し、拡散係数が零まで大域的に解が存在すること、及び対称解の安定性を線形化固有値問題を解析することで示した．また、2次分岐解の安定性については、拡散係数が小さい場合を除いて安定性が示されていない。そこで2次分岐解はすべて不安定であることを示す．そのための準備として、非対称解の表示、拡散係数に関する解の一意性、及び2次分岐がsubcriticalであることを示す必要がある．指数定理とこの結果から2次分岐解の不安定を示す方針である．次にディリクレ境界条件のもとでの同様の問題の考察を進めている．境界条件が異なるが、完全楕円積分を用いた解表示は可能であると予想している．そのため単調解以外のすべての解の表示を求める．また、大域的な解構造を数値的に求めたが、通常の分岐理論では扱うことができない新たな問題も含まれている．
これまで研究してきた積分制約条件付きの微分方程式の解表示を用いた解析手法は汎用性があり、Fix-Caginalp方程式に応用する予定である．
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定方程式について、定常解の大域的構造を決定するために、ある種のエネルギー量が十分小さい場合に定常解の最大値が発散しないことを示す必要がある．そのために解の陰的表示を詳細に評価する．一方、数値計算により定数解から１次分岐した解は安定であるが、その後不安定化する．この時Hopf分岐により安定な周期解が出現することを数値的に求めた．これも２次分岐現象と捉えることができるが、１次分岐点から離れているため一般的に難しい問題である．そこで２次分岐点を移動させる新たなパラメータを導入するなどの方法で試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
繰越金が生じた理由は、年度末に計画していた研究集会開催のための経費及び出張がコロナウイルスの影響で中止になったことが主な原因である．
数値計算ソフトMapleとそのためのパソコンの購入、及び中止となった研究集会の開催などを予定しており、次年度の計画を実行することで予算執行は可能である。
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