| 研究課題/領域番号 |
17K05335
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
眞野 智行 琉球大学, 理学部, 准教授 (60378594)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | モノドロミ保存変形 / 平坦構造 / 複素鏡映群 / パンルヴェ方程式 |
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| 研究実績の概要 |
平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について前年度の研究を引き継いでより発展的な方向に研究を進めた。以下で今年度の進展について述べる。
1)前年度はプレポテンシャルを持つ場合の平坦構造(あるいはフロベニウス構造に対応する)とモノドロミ保存変形のτ関数との関係およびそれらの解析的表示を得た。今年度はこれを、必ずしもプレポテンシャルを持たないポテンシャルベクトル場の場合に拡張した。本研究課題の最も主要なテーマは平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係を調べることである。平坦構造についてはプレポテンシャルあるいはポテンシャルベクトル場が基本的な量であり、モノドロミ保存変形についてはτ関数と呼ばれる関数が基本的な量である。これらの基本的な量の間の直接的な関係を調べることは非常に重要な問題である。今年度はポテンシャルベクトル場の場合にもこの関係を明らかにすることができた。ただしパラメータに少し制限が付くので、この制限を外すことは今後の課題である。
2)複素鏡映群に対する計量を持たない平坦構造について、特異点の変形の観点からの研究を行った。本研究課題ですでに得られている構成法は、複素鏡映群の自然表現に関する軌道空間上に大久保型のパッフ系を構成してそこから平坦構造を導くというものである。実鏡映群の場合にはこの構成法のほかに特異点の半普遍変形から平坦構造を導くという方法が斎藤恭司氏らにより知られているので、この方法を複素鏡映群に拡張することが目的である。斎藤恭司氏も計量を持たない原始形式という概念を導入して同様の問題を考え始めているようなので、今後連絡を取りながら研究を進めたい。
これらに関連する成果についていくつかの国際研究集会で講演を行い、また論文を執筆した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度までの研究成果を引き継いで、ポテンシャルベクトル場とモノドロミ保存変形のτ関数との関係について成果が得られた。ただしパラメータに関して制限が必要である。また、複素鏡映群に関する平坦構造と特異点の変形との関係について、いくつかの具体例に関する結果が得られた。
これらに関連した成果についていくつかの国際研究集会で成果発表や論文執筆を行った。まだ完全に満足の行く形まで完成しているわけではないが、これまでの成果を発展させる結果が得られてきているので、研究は順調に進展していると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について研究を進めていく。今年度はプレポテンシャルを持たないポテンシャルベクトル場に対応する平坦構造について、それに対応する線形微分方程式のモノドロミ保存変形のτ関数の解析的構造を調べた。ただし結果は得られたが、線形微分方程式に含まれる確定特異点での特性指数に対応するパラメータに関する制限が付いているので、今後はこの制限を外した拡張を目指して研究を行う。この制限を外した場合にはτ関数の解析的構造がかなり異なってくることが予想されるので、まずはその形を確定する必要があり、その部分から研究を進めていく。また、τ関数の解析的構造については他の研究者らによって全く異なる手法で結果が得られているので、それらの結果と比較を行うことも重要な問題であり、これについても研究を進めたい。
もう一つの方向として、複素鏡映群に関する平坦構造と特異点の変形との関係についての問題がある。これについてはまだいくつかの具体例についての結果しか得られていないので一般論の構成を模索したい。この問題については最近斎藤恭司氏らも計量を持たない原始形式の理論の観点から研究を行っているようなので、今後連絡を取りつつ研究を進めていきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加予定だった研究集会にスケジュールの都合により参加できなかった。
次年度、研究集会参加のための旅費として使用する。
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