| 研究課題/領域番号 |
17K05335
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
眞野 智行 琉球大学, 理学部, 教授 (60378594)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 平坦構造 / 微分方程式 / モノドロミー |
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| 研究実績の概要 |
前年度より引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係についての研究を進めた。今年度の研究成果について述べる。
1)本研究課題の最も主要なテーマである平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係についての基礎理論を記述した共著論文（加藤満生氏および関口次郎氏との共著）が国際的学術専門誌に掲載された。この論文は基礎理論の記述と共に多くの興味深い具体例についての記述を含む。基礎理論の記述のいくつかの部分については前年度以前に得られた結果が基になっているが、今年度に新しく得られた定式化を含む部分もある。
2)well-generatedな複素鏡映群の自然表現についてその群作用に関する軌道空間上に(計量を持たない)平坦構造を構成したが、この構成を用いてwell-generatedな複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になることが証明されていた。今年度はこの証明の構造について改めて考察を行い、その本質的な部分に線形Pfaff系のSchlesinger変換の理論が関わっていることを突き止めた。さらに現在この視点を基に、既存の証明の書き直しおよび新しい問題への適用を進めており、ある程度の成果が得られた時点でそれらをまとめ、論文を執筆する予定である。
3)本研究課題の成果である平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係を利用して、パンルヴェ方程式の解と平坦構造を結び付けることができる。今年度の研究によって平坦構造の判別式が、重要な不変量を与えることが認識されてきた。特に、パンルヴェ方程式の異なるいくつかの解が同じ判別式を共有するなど、興味深い現象の例が得られた。しかし、まだまとまった結果は得られていないので、今後この研究を進展させていく予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度は、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係に関する基礎理論についての共著論文が国際的学術専門誌に掲載され、いくつかの新しい定式化を含むことができたが、結果そのものについては本質的には前年度以前に得られていたものであるため、真に今年度得られた新しい結果ということはできない。
また、well-generatedな複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になるという結果について、証明の構造の見直しを行い、新たな展開を生む視点を得ることができたが、それを新しい状況に適用し結果を得るという段階にまではまだ至っていない。パンルヴェ方程式の解と平坦構造の判別式との関係についても興味深い現象を確認することはできたが、まとまった結果を得るためにはさらに研究を進展させる必要がある。
研究環境についても、新型コロナ感染拡大の状況により国内あるいは海外への移動によって研究連絡を行うといったことが上手くできなくなっており、研究の進展にやや遅れが生じている。
このような理由により「やや遅れている」という自己評価を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度も引き続き、平坦構造とそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について研究を進めていく。
まずは、well-generatedな複素鏡映群の鏡映面から定まる多重鏡映面配置が自由多重超平面配置になるという結果について、証明の構造の見直しから得られた視点を用いて、新しい状況に適用し、より広い結果を得ることを目標とし、成果が一定程度得られ次第それをまとめて論文の執筆および国際学術誌への発表を目指す。
また、線形微分方程式のモノドロミ保存変形のτ関数やパンルヴェ方程式の解の解析的構造を調べる研究を行う。特に線形微分方程式のモノドロミ保存変形のτ関数やパンルヴェ方程式の解に関連する平坦構造の判別式を用いた研究は、新しい視点であり、興味深い結果が得られることが期待される。
さらにDubrovinの予想およびその一般化についての研究を行う。複素鏡映群の正規元と、複素鏡映群をモノドロミー群に持つ大久保型方程式の関係性がその鍵となるであろうと予想されている。この関係性を明らかにするための研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナ感染拡大の状況により、各種の学会、研究集会などが中止あるいはオンライン開催となったため、旅費に使用する予定が大幅に変更になった。
次年度に旅費としてあるいはオンライン会議参加用の設備増強のために使用する予定である。
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