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2017 年度 実施状況報告書

汎関数に対する種々の増大度条件の下での変分問題の研究

研究課題

研究課題/領域番号 17K05337
研究機関東京理科大学

研究代表者

立川 篤  東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (50188257)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワード変分問題 / 解の正則性 / 部分正則性 / 非標準的増大度
研究実績の概要

非標準的増大度(Non-dtandard Growth)をもつ汎関数を適当なソボレフ空間において局所的に最小化する関数の正則性に関する研究が本研究の主題である.29年度は,非標準的増大度を持つ汎関数のうち,特に,べき乗関数とある程度近い振舞いをするN-関数と呼ばれる関数Φに対して,Φ-growthと呼ばれるタイプについて,その局所的最小点となる関数の部分的内部正則性,すなわち,定義域として与えられている領域の内部において,ハウスドルフ次元が小さい集合を除いた開集合上での正則性を研究した.
まず,ナポリ・フェデリコ2世大学数学科のFlavia Giannetti助教, Antonia Passarelli di Napoli准教授と共に,Φの中に,未知関数uの微分Duの,楕円牲条件を満たす連続な関数からなる行列を係数行列とする2次形式の平方根(以降 A(Du)と表すこととする)を入れた形のものの積分∫Φ(A(|Du|))dxで与えられる汎関数を局所的に最小化する関数の内部部分正則性に関して,予想される最良の結果を得ることができ,専門誌Annai di Matematica Pura ed'Applicataにおいて論文として発表した.さらに,上記2名のほか,カターニア大学数学・情報学科のMaria Alessandra Ragusa教授も加えて,前出のΦ(A(Du))のp(x)乗の積分で与えられる汎関数に関して研究し,同様の結果を得てた.これも論文として発表した.こちらは専門誌Calculus of Variations and Partial Differential Equation に掲載された.いずれの結果も,これまで知られてい∫Φ(|Du|)dxという形の汎関数に対する結果の適切な一般化となっている.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

当初計画では,Φ(A(|Du|))のp(x)乗の積分で与えられる汎関数に関しては,本課題研究の2年度目以降に扱う予定であったが,思ったより順調に研究がすすみ,内部部分正則性に関しては,初年度(29年度)においてすでに結果が発表できてた.

今後の研究の推進方策

これまでははΦ-growthの汎関数の最小点となる関数の領域内部における部分正則性,すなわち内部部分正則性に関する研究のみをおこなってきたが,これらが一段落したので,今年度は境界上での正則性に研究の焦点をあてることとする.
またdouble phaseと呼ばれるタイプの汎関数に対する研究も本格化したい.

次年度使用額が生じた理由

当初ノートパソコンを購入予定であったが,今年度は見送ったため,次年度使用額が生じた.ノートパソコンの購入は翌年度に予定してる.

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 2件、 査読あり 2件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [国際共同研究] ナポリ・フェデリコ二世大学/カターニア大学(イタリア)

    • 国名
      イタリア
    • 外国機関名
      ナポリ・フェデリコ二世大学/カターニア大学
  • [雑誌論文] Partial regularity results for non-autonomous functionals with Φ-growth conditions2017

    • 著者名/発表者名
      Falvia Giannetti, Antonia Passarelli di Napoli, Atsushi Tachikawa
    • 雑誌名

      Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series IV

      巻: 196 ページ: 2147--2165

    • DOI

      10.1007/s10231-017-0658-z

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Partial regularity for minimizers of a class of non autonomous functionals with nonstandard growth2017

    • 著者名/発表者名
      Giannetti Flavia、Passarelli di Napoli Antonia、Ragusa Maria Alessandra、Tachikawa Atsushi
    • 雑誌名

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      巻: 56 ページ: Art. 153, 29

    • DOI

      10.1007/s00526-017-1248-z

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Partial regularity results for minimizers of a class of functionals with nonstandard growth2018

    • 著者名/発表者名
      立川 篤
    • 学会等名
      松山解析セミナー2018
    • 招待講演
  • [学会発表] Some regularity results for energy minimizing maps into Finsler manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      Atsushi Tachikawa
    • 学会等名
      Seminario di Analisi (ナポリ大学における公開セミナー)
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2018-12-17  

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