2019 年度研究成果報告書

ジェネリック構造とその自己同型群の研究

研究課題

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研究課題/領域番号	17K05345
研究種目	基盤研究(C)
配分区分	基金
応募区分	一般
研究分野	数学基礎・応用数学
研究機関	神戸大学
研究代表者	桔梗宏孝神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (80204824)
研究期間 (年度)	2017-04-01 – 2020-03-31
キーワード	無限単純群 / ジェネリック構造 / モデル完全 / 自己同型群 / Hrushovskiの融合法 / Fraisse極限
研究成果の概要	0と1の間の実数をパラメタにHrushovskiは有限グラフのクラスを定義し、その極限として等質性をもつ可算構造を構成した。これをジェネリック構造と呼ぶ。これにはWagnerの修正版がある。Wagnerの修正版にはHrushovskiの本来の構造は含まれない。パラメタが有理数の場合、どちらの場合もジェネリック構造が満たす完全な公理系はモデル完全になることが示せた。同じ仮定のもとで、どちらの場合もジェネリック構造の自己同型群が単純群になることが示せた。パラメタが普通の無理数の場合はジェネリック構造の満たす完全な公理系はモデル完全にならないこともわかった。無理数一般についてはどちらも未解決である。
自由記述の分野	モデル理論（数理論理学）
研究成果の学術的意義や社会的意義	有限単純群の分類が終わったあと、無限な単純群も考えられるようになった。可算ランダムグラフの自己同型群が単純群であることが証明され、自由融合性をもつ有限構造のクラスに対するFraisse極限など等質性の高い可算構造の自己同型群が単純群になることも次第に一般的な仮定のもとで示されるようになってきた。Evans, Tentらにより、Wagnerの修正版についてパラメタが1/2のときに、ジェネリック構造の自己同型群の単純性が示されている。われわれの研究により、パラメタが任意の有理数の場合にもHrushovskiの本来の場合も含めて自己同型群が単純になることがわかった。