グラフ理論を用いた箙ゲージ理論の解析と新しい時空像の探求

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05422
• 研究機関: 明治学院大学
• 研究代表者: 太田 和俊 明治学院大学, 法学部, 教授 (80442937)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: クイバーゲージ理論 / グラフ理論 / 超対称ゲージ理論 / ヴォーテックス / モジュライ空間 / 局所化

研究実績の概要

クイバー(箙)図と呼ばれる有向グラフ上で定義された2次元ゲージ理論(クイバーゲージ理論)におけるヴォーテックス解に関する研究を行った。研究の主目的はクイバーゲージ理論のヴォーテックス解のパラメータ空間(モジュライ空間)の体積を求めることであるが、今年度の研究では、このモジュライ空間の体積を超対称ゲージ理論におけるコホモロジー演算子の期待値として局所化の方法を用いて導出することに成功した。
この導出にあたり、クイバー図をグラフ理論における接続行列やラプラシアン行列を用いて定義し、超対称ゲージ理論の超対称変換や作用の表現に応用した。特に、接続行列は局所化の固定点の分類や最終的なモジュライ空間の体積で重要な役割を演じることがわかった。
我々は超対称ゲージ理論におけるヒッグス相とクーロン相での局所化を比較することでモジュライ空間の体積を厳密に評価することができたが、いくつかのクイバーゲージ理論の例について、モジュライ空間の体積を具体的に導出した。モジュライ空間はクイバーゲージ理論によっては非コンパクト多様体になるものがあり、その体積が発散するといった問題が生じるが、有向線分がループを持つかどうかといったグラフの構造と深い関係があり、その解釈についても理解することができた。特に、RomaoとSpeightによって与えられたクイバーゲージ理論のヴォーテックスの例においては、数学的な別手法によって導出された体積と、我々の方法での結果が完全に一致することがわかった。
これらの研究結果は現在論文として執筆中である。
この主な研究実績に加えて、現在、クイバー図上で定義されたドメインウォールの構成とそのモジュライ空間の体積の導出、グラフ上の超対称ゲージ理論におけるWard-Takahashi恒等式の数値計算を用いた評価、といった研究も同時並行的に行っている。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

現在、所属学科内の主要役職に就いており、多忙のため研究に集中する時間があまり取れなかった。また、当該年度末に発生した新型コロナ感染症の影響により、対応の時間を取られたこと、また、対面での共同研究の打ち合わせの時間があまり取れなかったことが理由としてあげられる。

今後の研究の推進方策

現在、大学が閉鎖されている状態のため、対面での研究打ち合わせはしばらくできないと考えられるが、オンラインの会議システムを使った研究打ち合わせや、論文執筆のための共同作業の環境が整いつつあるため、今後の研究は特に問題なく推進できると思われる。
また、別の共同研究のプロジェクトとして数値計算のためのリソースを獲得できたので、これらを活用し、本研究課題が推進可能である。

次年度使用額が生じた理由

当該年度において、学内業務の多忙と研究の遅延により、当初予定していた旅費の予算の消化が計画通り行えなかった。次年度においては、最近の社会情勢により依然として旅費による研究費の使用が難しいと思えるため、今後はオンラインでの研究環境の構築のための物品費として使用することを計画する。