| 研究実績の概要 |
本年度は，Brou\'e-Malle-Rouquier自由予想を最終的に解決した．Brou\'e-Malle-Rouquier（Crelle,(1998)）は複素鏡映群についてヘッケ環や組紐群といったリー環論的対象を定義し，これらが通常のCoxeter群（実鏡映群）のものと同様の性質をもつだろうと予想した．BMR自由予想（BMR freeness conjecture）はこのうちもっとも有名なものであり，たとえば日本語wikipediaでも「BMR」の転送項目4件中の1つに「BMR 予想」をみることができる（2018年4月現在）．またP.Eingof（arXiv:1606.08456）やI.Marin（qwww.lamfa.u-picardie.fr/marin/arts/reportBMR.pdf）などのサーベイからもわかるとおり，さまざまなアプローチで多くの研究者たちによって取り組まれてた．2016年までの段階で5つの複素鏡映群についてBMR自由予想を証明すればよいところまで進展し，2017年2月までの段階で，3つの複素鏡映群G17,G18,G19について証明すればよいことが知られていた．私はこれらを含むすべてのランク2の複素鏡映群について，G.Bergman（Adv.Math.,(1978)）のdiamond補題（Gr\"obner 基底の非可換版）に触発された手法で，計算機も援用し証明を与えた．
またB2型regular柏原クリスタルの純グラフ理論的特徴付けをあたえた．これはStembridgeが2003年に，simply-laced GCMに付随するregular柏原クリスタルの純グラフ理論的特徴付けをあたえて以来，SternbergやDanilov-Karzanov-Koshevoyらによって部分的な結果がえられていたものの，未解決であった．
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