| 研究課題/領域番号 |
17K14163
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
疋田 辰之 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70793230)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 幾何学的表現論 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度までの研究では錐的シンプレクティック特異点解消の同変K群の標準基底を統一的に理解し、シンプレクティック双対性との関係を明確にするために標準基底の楕円化することを試み、特にトーリックハイパーケーラー多様体の場合に楕円標準基底と呼ぶべきものを構成した。標準基底の楕円化にあたってはK理論の場合の特徴付けが楕円の場合には上手くいかないことが最大の問題になっていた。そこで今年度はトーリックの場合の知見をもとにトーリックでない例、具体的にはグラスマン多様体Gr(2,4)の余接束とそのシンプレクティック双対、及び2点のHilbertスキームの場合に楕円標準基底と呼ぶべきものを構成することを試みた。この計算では楕円標準基底の満たすべき性質として既に構成していた楕円バー対合で不変であることの他に、K理論的な標準基底の壁越えから定まる同変及びKahlerパラメータに関するq差分方程式を満たすという要請、さらには背後にあるべき頂点作用素代数のSchur-Weyl型の双対性と関係する、楕円安定基底と楕円標準基底及びシンプレクティック双対側の楕円標準基底を結びつける双線形関係式を満たすという要請などを課した。少なくとも上に挙げた具体例ではこれらの要請と若干の仮定の元で得られる方程式は過剰決定な連立方程式であり解が存在することは非自明であるが、実際に解が存在しそれらは二つのパラメータのみで決まってしまうことを確かめた。この計算で驚くべきこととしては解の候補を見つける段階では楕円安定基底の非自明な行列成分の計算は一切必要がなく、逆に楕円標準基底の存在とSchur-Weyl型の双線形方程式から楕円安定基底の新しい公式が得られているということが挙げられる。証明は個別の非常に煩雑な直接計算でありそのままの一般化は難しいが、より良い証明が見つかれば楕円安定基底の双対性のより深い理解に繋がると考えられる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
最大の問題であった楕円標準基底の特徴付けという問題に関して、小さい具体例の場合ではあるが一定の理解が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今までの計算は個別の具体例に対するものであったが、今後はHilbertスキームの場合など、無限個のシンプレクティック特異点解消の系列の場合に楕円標準基底の計算を試みたい。一つの問題としては現在の方法ではそれが満たすべきq差分方程式の決定にはコンピュータを用いた計算が必要であり、これはパラメータが非常に多いため、少し例を難しくするとコンピュータでも非常に時間のかかるものとなっている。ただしある程度の形はK理論的な標準基底の壁越えの様子から推測可能であると思われるため、まずはこのq差分方程式をK理論的な標準基底の壁越え公式から読み取る一般的な公式を予想したい。また楕円標準基底を決める二つのパラメータをどのように選ぶべきかという問題に関しては、特殊化することで何かしらの頂点作用素代数の既約加群の指標となるようにそれが取れるかというのが重要な問題であると考えている。これに関してはS変換で指標がどう振る舞うかを調べることで情報が取り出すことを試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの影響により研究集会等が軒並み中止あるいはオンライン化し、出張して議論する等のことが出来なくなったため。
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