研究課題
本年度は、LapidとMaoによって予想されたWhittaker周期の明示公式の偶数次ユニタリ群の場合、古澤昌秋氏(大阪市大)との共同研究としてBoechere予想の一般化、D. Soudry(Tel Aviv University)との共同研究として奇数次ユニタリ群の場合の志村型の局所ゼータ積分の解析の三つに取り組んだ。LapidとMaoにより、偶数次ユニタリ群の場合の明示公式は適当な局所体上の等式に還元されることが証明されていた。本年度はこの局所等式の証明に取り組み、分裂しない非アルキメデス素点上では、この局所等式を一般に証明することができた。また、アルキメデス素点上では離散系列表現の場合に局所等式を証明することができた。これらから、分裂素点、アルキメデ ス素点、基礎体に関する適当な仮定の下では、偶数次ユニタリ群の場合にLapid-Mao予想を証明することができた。 また、市野-Lapid-Maoの方法に倣い、この局所等式を用いることで、非アルキメデス体上の偶数次ユニタリ群の場合に形式次数予想を証明することができた。古澤氏との共著論文ではBoecherer予想を証明していたが、その論文では奇数次特殊直交群とメタプレクティック群との間のテータ対応が重要な役割を果たしていた。本年度はその一般化に取り組み、以前の論文とは異なるテータ対応を用いた方法による着想を得て、現在共同研究をその方針で進めている。D.Soudryとの共同研究では、保型表現の重要な構成法であるDescent法に現れる局所ゼータ積分の解析に奇数次ユニタリ群の場合に取り組んだ。結果として、収束性、非消滅、局所ガンマ因子の存在を証明する事が出来た。
2: おおむね順調に進展している
いくつかの仮定が必要ではあるもののWhittaker周期の明示公式は証明できており、またその結果を用いて形式次数予想をも証明することができた。これらは保型L函数の研究、p進代数群の表現の研究において重要な結果である。また、奇数次ユニタリ群の局所ゼータ積分の解析においても、あとは不分岐計算を残すのみである。このような状況から、研究は順調に進展していると思われる。
Whittaker周期の明示公式の結果における分裂素点上での仮定をはずすことに取り組みたい。非分裂素点の場合と同様の議論が期待できるため、この場合のモデルの変換公式を証明できれば局所等式を証明できると思われる。また、このWhittaker周期の明示公式とテータ対応を用いることによって、一般の場合のBoecherer予想の証明にも取り組みたい。奇数次ユニタリ群の局所ゼータ積分の不分岐計算は、他の群の場合のDescent法に現れるゼータ積分を参考に取り組みたい。
本年度に参加を検討していた研究集会において、講演者やその内容が当初想定していたものと異なっており、出張を中止したため繰越分が生じた。また、繰越分については、海外で開催される研究集会に積極的に参加するための費用としたい。
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すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件、 招待講演 3件) 学会・シンポジウム開催 (1件)
International Mathematics Research Notices
巻: Vol. 2020, No. 4, ページ: 1112-1203
doi:10.1093/imrn/rny048
