| 研究課題/領域番号 |
17K14176
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
谷口 直樹 早稲田大学, グローバルエデュケーションセンター, 助教 (30782510)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 可換環論 / Almost Gorenstein環 / Cohen-Macaulay環 / Gorenstein環 / 行列式環 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標は，多様かつ豊富に存在するCohen-Macaulay環をGorenstein性との相違を指標に階層化し，非Gorenstein Cohen-Macaulay環論に新たな展望を齎すことにある。平成29年度は，下記2課題に着手した。
課題（1）Rees代数のalmost Gorenstein性解析
課題（2）行列式環のalmost Gorenstein性解析
課題（1）に関して，現在では，数多に存在するCohen-Macaulay Rees代数の中でも，Gorenstien環はごく僅かであることが明らかにされている。従って，これら非Gorenstein Cohen-Macaulay Rees代数の中には，almost Gorenstien環となるべきものが豊富に含まれていて，解明を待っていると推測される。研究代表者は，後藤四郎，松岡直之，吉田健一との共同研究において，contracted idealsに関するRees代数のalmost Gorenstein性の判定条件を与えた。また，2次元excellent Gorenstein正規局所環上のpg idealsに関するRees代数がalmost Gorenstein環であることも示した。課題（2）は，行列式環のalmost Gorenstein性解析に取り組むものである。研究代表者は，行列式環がalmost Gorensteinとなる判定条件を与えることに成功した。
また，研究代表者は，2017年11月に京都大学数理解析研究所で開催された第39回可換環論シンポジウムと2018年3月にアメリカのオハイオ州立大学で開催されたAMS Meeting Special Session on Homological Algebraに出席し，成果発表，情報収集，及び研究連絡に従事した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の予定通り，平成29年度内に，contracted idealsに関するRees代数がalmost Gorenstein環となるための判定条件を得ることに成功した。また，2次元excellent Gorenstein正規局所環上のpg idealsに関するRees代数がalmost Gorenstein環であることも示している。得られた成果は2編の論文に纏め，内1編は，Michigan Math. Journalから既に発表されており，残りの1編は，Kyoto Journal Math.から発表予定である。
また，行列式環のalmost Gorenstein性に関する判定条件を与えることにも成功した。成果を纏めた論文は，Communications in Algebraから発表されている。
以上により，現在までの達成度は「おおむね順調に進展している」と判断される。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成30年度以降は，almost Gorenstein環論のさらなる深化と発展，充実を目指し，数多の未開拓課題に挑みながら，関連分野への浸透を図ることを目指す。当面は，不変式環のalmost Gorenstein性解析に従事する計画である。並行して，加群のRees代数のalmost Gorenstein性解析に着手する予定である。具体的には，2次元正則局所環上の剰余体の高次のsyzygy加群に関するRees代数のalmost Gorenstein性を考察する。その後，より一般に，Ulrich加群に関するRees代数のalmost Gorenstein性解析を行う。
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