| 研究課題/領域番号 |
17K14180
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70452422)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | スライスリボン予想 / レンズ空間手術 / 負定値交差形式 / 有限位数コルク |
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| 研究実績の概要 |
スライスリボン予想のハンドル図式を用いた研究を行った。これは安部哲哉氏との共同研究である。理論の核となる穴あきリボン円盤の定義や、性質などの整備を行った。また、スライスリボン予想における困難な部分に対していくつか方策を整理し、図式から求められる位相的不変量(絡み数など)がどのように定義できるか話し合った。
有限位数の巡回群が境界に作用する可縮な４次元多様体で、その内部の４次元多様体にその微分同相写像が拡張できないもの(有限位数コルクという)に関する研究を行った。以前の研究では、有限位数コルクの構成を行ったが、今回、この構成が、他のコルクの境界和として分解できないことを突き止めた。このことは、既存の組みあわせでは得られない独立した有限位数コルクの存在を示している。またそのいくつかは、境界が双曲構造をもつことがHIKMOT(双曲構造判定アルゴリズム)を用いて示すことができた。
あるホモロジー球面はどのようなII型負定値交差形式をもつ４次元多様体によってboundできるかについて研究を行った。係数が2,5,9のブリースコーン球面は-E8を交差形式とする４次元多様体によってboundできることがわかった。今回の方法は、-E8-plumbingの各unknotを捻ることで容易に得られ、同じ手法によりそのようなboundをもつブリースコーンホモロジー球面が得られ、そのNS不変量やd-不変量を計算した。
レンズ空間を得るホモロジー球面に関する研究を一部完成させた。レンズ空間内のある1-橋結び目の整数手術から作られるホモロジー球面は、レンズ空間手術を自然に含む。この考え方から、整数手術によってブリースコーンホモロジー球面が得られるようなものを多く書き出すことに成功した。またgraph多様体上のレンズ空間結び目も我々のCDE-typeの手術を拡張することで得られることもわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度は、スライスリボン予想に関する研究の出発点であり、これまでの研究をまとめ、多くの議論をする段階にある。今年度は、多くの成果が上がらなかったが、従順ではない状況を本質的に回避することは難しく、現在のところ一時的に回避する簡単な方法をまとめている段階である。
有限位数コルクで境界和既約であるようなものの存在は以前から疑問であったが、このように解決できたことは進展である。
ブレイドを用いた無限位数コルクについての研究はあまり進んでいない。それを突き止める方法がないことによる。しかし、非可換な境界の貼り付け写像を捉えるようなゲージ理論から由来する理論を作る方法を開発するため、既存のゲージ理論がどのようにしてフレアホモロジーなどの可換化された世界でのみ情報を捉えているのかについて研究を進める。これらの状況を打開する方策が存在するはずである。
ファイバー結び目のもつモノドロミーと結び目ホモロジーとの関係については、それほど明らかになっていない。写像の固定点集合や周期点集合の情報は、それらに共通して持っているはずであり、それが不変量としてどのように構成されているかを学ぶ必要を感じた。
主催セミナー(ハンドルセミナー)や研究集会(微分トポロジー18)などにおいて、研究に関する多くの情報を得ることに成功した。例えば、結び目フレアホモロジーとそのトーラス和をしてできる多様体の間の関係をボーダードフレアホモロジーという操作によって実現することができることや、写像の力学系的性質が固定点や周期点によって司られており、その情報が研究する手法などである。
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| 今後の研究の推進方策 |
スライスリボン予想に関する研究は、今後、円盤が従順でない場合についての研究を先行させる。行うべき方策は３つある。1つ目は円盤のハンドルスライドを先に制御することである。今まではスライドの列はこちらで指定できない議論であった。しかし、それをこちらで有効なものとしてあらかじめ指定することで状況を単純化させることで研究を進める。2つめは、3ハンドル上のスライスグラフを積極的に応用することである。今までは、円盤上のスライスグラフでのみみてきたが、3ハンドル上のグラフを詳細に観察する必要があることがこれまでの研究で判明した。3つめは、inner ハンドルスライドの適用である。これは、スライドarrowを円盤の内部に取る方法であり、これにより、円盤や結び目をハンドル体から解くことができるようになる。これらについてはこれまで積極的に考えてこなかった。
これまでの有限位数コルクは、既約である場合、その多様体に双曲構造をもつものが多く構成されている。実際、このような双曲構造が４次元多様体の微分構造とどのような関係を持つかについて新しい研究を始める。例えば、コルクとして知られている４次元多様体はどのような幾何構造をもっているのかについて考察から始める。引き続きゲージ理論について研究も続ける。
結び目のファイバー構造がもつヒーゴール曲面上の３つ組(alpha-curve, beta-curve,基点)がモノドロミーによってどのように求められるか？またそのフレアホモロジーはどのように計算できるかについて考察をする。今年度の研究では、この分解によって得られる、slope pの多様体のフレアホモロジー、結び目のフレアホモロジー、0-surgeryのフレアホモロジーの間の関係について考察をする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度は、旅費として多くの予算を使うことができなかったため予算に余剰がでた。
今年度は、これらの予算を用いて研究集会において、海外からも多くの人をよぶことで旅費を使い、
その他、論文執筆のためのPCなどを購入するため、物品費など、適宜使う予定である。
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