| 研究課題/領域番号 |
17K14183
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
田中 康平 信州大学, 学術研究院社会科学系, 助教 (70708362)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | Topological complexity / LS category / Finite space / Simplicial complex / Poset / Loopfree category |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，前年度に発見した位相不変量の離散化の理論をさらに発展させた。ロボットモーションの設計に関わる位相不変量「topological complexity」の組合せ論的計算方法を前年度に導入したが，このアイデアを対称性を持つtopological complexityに拡張した。
対称的なtopological complexityは，2点間の移動経路に関し，行きと帰りで同じルートを選択することを条件にしたモーション設計である。これは，位数2の対称群の作用を考慮したtopological complexityと考えることができる。具体的には群作用による商空間において，経路選択を行うことになる。
前年度における無条件のtopological complexityの組合せ論的計算で中心となったのは，ポセット（半順序集合）による近似と，その細分による精密化であった。この手法をそのまま対称的topological complexityには適用できない。これはポセットの群作用による商は，topological complexityの情報をうまく保存しないことが原因である。
そこで，通常の商を考えるのではなく，圏論的な商を考えてこの問題を回避した。ただし，ポセットの圏論的な商はもはやポセットではなく，複数の有向辺を許したループのない「圏」になっている。圏論的な手法によりこの圏を考察することで，対称的なtopological complexityの計算に有効であることが確認できた。位相空間をポセットに近似し，圏論的商を考えたのち，細分により元の位相空間の対称的topological complexityを計算した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
対称性を持つtopological complexityの計算に「圏」のアイデアが有効であることを実証できたのは大きな進展である。一方で群作用を持つ圏のオイラー標数の公式については，一般的な証明が終わっていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
群作用を持つ圏のオイラー標数について，群の位数と固定部分圏の情報から，商圏のオイラー標数を導出する。証明を完成させるためには，巧みな数え上げの手法が必要なため，そのための知識や，代数を専門とする他の研究者の助力を得たい。
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