| 研究課題/領域番号 |
17K14184
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| 研究機関 | 静岡大学 |
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研究代表者 |
四之宮 佳彦 静岡大学, 教育学部, 講師 (40755930)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Veech曲面 / Veech群 / タイヒミュラー空間 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質を明らかにすることである．種数2 のVeech 曲面に対して知られている曲線複体の性質の一般化を行い，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相を解明することを目指している．また，Veech 曲面の2 通りの円柱分解で，互いの交わり方が非常に良い性質を持つものを構成することで，高さ比に関する不等式で，これまでより高精度なものを与えることが目的である．
本年度は，超楕円的平坦曲面の展開図について研究を行った．特に，種数が3の超楕円的平坦曲面について，展開図の構成の研究を行った．種数2の平坦曲面および特異点の個数が一つの種数3の超楕円的平坦曲面については先行研究がある．これらと類似の性質を一般の種数3の超楕円的平坦曲面の場合に考察した．種数3の場合には，特異点の個数および位数に関して多くのパターンが存在する．それらをあまり場合分けせずに統一的に調査する方法の開発を目指したが，未だその様な方法は見つかっていない．この研究と同時に，様々な平坦曲面の具体例の構成についての研究を行っている．具体例を多く構成することで，今後成り立つと予想した性質の検証が容易になる．平坦曲面の具体例の構成法として，曲面上の2つの曲線族で，曲面を充填しているものから平坦曲面を構成するという方法がある．この方法では先ず曲線族を与えなければならないが，この方法を改良して，曲線族の交点数の情報を行列で与え，そこから平坦曲面を構成する方法を作成することを目指している．現在，幾つかの具体的な行列からそれに対応する平坦曲面の構成に成功している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
特異点を一つしか持たない超楕円的平坦曲面を種数3, 4の場合について調査しているが，特異点が少ない分，その特異点の周りの構造が複雑であり解析には多くの場合分けをする必要がある．多くの場合を同時に調べるための方法を模索したが，いまのところその様な方法が見つかっておらず，各場合をそれぞれ調べるしかない状況である．多くの場合を同時に調べるための方法を現在も探しているため，本題の展開図の構成が遅れている状況である．同時に調査している行列に対応する平坦曲面で種数最小のものの構成も未完成である．いくつかの具体的な行列については，種数最小の平坦曲面の構成には成功しているが，行列のサイズが大きい場合には最小性の証明方法が確立できていない．また，構成に用いた手法を一般の場合に適用できるように定式化することも未だ果たされていない．そのため，「(4)遅れている」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
種数が3または4の超楕円的平坦曲面の多くの場合を同時に調べるための方法を探すと同時に，各場合について個別に調査を進め，一般の性質を明らかにしていく．先行研究で行っている手法を各場合に関して適応して共通の性質を導く．また，行列に対応する平坦曲面の構成について，現在までに得られている幾つかの具体例を観察し，一般の構成法を作成する．まずは，行列の成分が全て0か1である様な場合について構成法の完成を目指す．これまでに得られている例も全てこの条件を満たすものである．先ずは．これまでの具体例を構成する際に用いた手法を定式化することを目指す．その後，この方法で得られる平坦曲面が種数最小であるかどうかを調査する．種数最小でなかった場合には比較的サイズの小さい行列について，具体例を観察し，より種数の小さい平坦曲面を構成するための構成法の修正を行う．種数最小であった場合にはある種の一意性が成り立つかどうかを明らかにする．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度の研究が予定より遅れているため，海外旅費を使用する機会が少なかった．また，次年度の本研究に関わる研究集会がフィールズ大学(カナダ，トロント)で数回開催される．その内2回分，計20日程度に参加するため海外出張旅費が多く必要となった．
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