| 研究課題/領域番号 |
17K14184
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| 研究機関 | 静岡大学 |
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研究代表者 |
四之宮 佳彦 静岡大学, 教育学部, 講師 (40755930)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | リーマン面 / 平坦曲面 / 曲線複体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，Veech曲面の曲線複体，円柱分解，高さ比などVeech曲面の幾何学的性質を明らかにすることである．Veech 曲面が種数2の場合に対して知られている曲線複体の性質の一般化，一般の超楕円的Veech 曲面上の曲線の様相の解明が目標である．
これらを応用して，Veech 曲面の2つの良い円柱分解を構成して，高さ比に関する不等式で，これまでより高精度なものを与えたい．
本年度は，超楕円的平坦曲面の一様な展開図の構成をすることに成功した．一般に平坦曲面は，いくつかの多角形を平行移動で貼り合わせることで構成できる．実際，平坦曲面の具体例を構成する際には，多角形の張り合わせから構成することが殆どである．一方で，一般の平坦曲面に対して，それを構成できる多角形を与えることは難しい．本年度の研究では，超楕円的平坦曲面はすべていくつかの平行四辺形を平行移動で貼り合わせて得られることを示した．そのときの平行四辺形の個数は種数のみに依存し，平行四辺形の貼り合わせ方も種数ごとに一様である．更に平行四辺形を貼り合わせてできる図形は平面上で実現できることも示した．これにより，すべての超楕円的平坦曲面は平面上の多角形を展開図として持つことも明らかになった．
本結果により，各種数ごとに，すべての超楕円的平坦曲面に同様の単純閉測地線の族を２つ与えることができる．ここで与えることができる単純閉測地線族は，互いに交わらずホモトピックでない特異点を通らない閉測地線から成るものであり，2つの単純閉測地線族の和は超楕円的平坦曲面を充填するという位相的に良い性質を持っている．
また，種数が低い場合に関して，ある条件を満たす様な超楕円的平坦曲面の展開図のパターンを全て調べ上げた．
本研究のこれまでの結果は現在論文雑誌に投稿中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は昨年度に構成した超楕円的平坦曲面の展開図よりも更に良い展開図を構成することができた．これが各種数ごとにある意味で一様な展開図であり，同時に曲面を充填するような2つの単純閉測地線族を構成したことで，Veech曲面の場合に限らず一般の超楕円的平坦曲面に対して曲線複体の性質を調べることができるようになった．また，上記のある条件を満たす様な超楕円的平坦曲面の展開図の全パターンが種数の低い場合について計算できており，具体例を計算する際に用いることができる道具も与えることできた．本題の曲線複体自体の性質はまだここまでの結果から直接導かれるものしか明らかにできていないが，今後性質を調べるための準備が整った．そのため，本年度の本研究は「(2)おおむね順調に進展している。」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究では，曲線複体の更なる性質を解明する．種数2の平坦曲面の曲線複体については先行研究がある．その性質が種数3,4場合に成り立つかどうかを調べる．その際には，これまでの研究で得られた良い展開図や曲面を充填する2つの単純閉測地線族が存在することを足掛かりにする．その後，その性質が更に一般の種数の超楕円的平坦曲面についても成り立つかどうかを調べる．ここまでが達成できた後，対象を超楕円的Veech曲面に限定し，超楕円的Veech曲面の閉測地線同士の交差の様相を曲線複体の性質を用いて調べる．更にその性質から，超楕円的Veech曲面の2つの円柱分解で互いの交わり方が非常に良いものの構成し，本研究の最終的な目標である超楕円的Veech曲面の高さ比に関する不等式の精度の向上を行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度に未使用の分があったため，そちらを使用した分，当該年度分にも未使用の分が残った．結果についての講演を行うための旅費などに充てるつもりである．
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