| 研究課題/領域番号 |
17K14191
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| 研究機関 | 宮崎大学 |
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研究代表者 |
坂田 繁洋 宮崎大学, 教育学部, 講師 (30732937)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 輻射中心 / 凸体 / 交差体 / 凸性 / 正三角形 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の大きな目的は、n次元Euclid空間内の凸体(内部が空でないコンパクト凸集合)Kからあるレシピに従って作られる交差体とよばれる図形が凸になるための十分条件を与えることである。より具体的には、Kが凸体の平行体(外側法方向へ膨らませたもの)である場合に、Kの交差体が凸になるような平行体の半径(膨らませる幅)を与えることである。
前年度は、Kが平面内の正三角形である場合に、数式処理ソフトを用いて、予想の妥当性を確かめた。また、前年度の研究過程で、当初の研究方法は、多少、修正されるべきであることがわかっていた。今年度は、研究方法の修正案の提示とそれによる研究目的の達成を計画していた。
星体(星形集合で、有界な開集合の閉包として得られるもの)の動径平行体(外側動径方向へ膨らませたもの)は、一般には、凸にはならないが、元の星体の動径関数が2回連続微分可能で、平行体の半径が十分大きいならば、凸になることを示した。Kが星体の動径平行体で、元の星体の動径関数が2回連続微分可能で、平行体の半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になると十分に期待できる状況証拠を揃えた。
関連する研究として、凸体の輻射中心の研究も予定していた。n次元Euclid空間内の通常の距離のp-n乗と凸体Kの定義関数のたたみ込みの最大点はKの次数pの輻射中心とよばれる。前年度には、「次数pの輻射中心と外心が一致する三角形は正三角形に限る」という主張を得ていた。今年度は、「次数pの輻射中心と重心または内心が一致する三角形は正三角形に限る」という主張を得ることを計画していた。「次数pの輻射中心と内心が一致する三角形は正三角形に限る」という主張は得られた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「Kが凸体の平行体で、その半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になる」という問題を「Kが星体の動径平行体で、その半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になる」という形で、前年度に必要となった研究方法の修正案を具体的に見つけることができた。今年度に揃えた示すべき主張の状況証拠は、文献調査や関連する研究者との意見交換で直ちに正当化されるものであると思われるため、研究計画の達成まで順調に進んでいると自己評価している。
星体の動径平行体の凸性は、それ自身、新規性のある研究成果である。この成果から、凸体の平行体と動径平行体の相違点を調べることに研究の価値を見出した。
関連する研究として計画していた輻射中心の初等幾何も区切りの良い形で成果を得られた。残りの研究期間内に、学術論文の形で発表できることが期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1)文献調査と関連する研究者との意見交換により、「Kが星体の動径平行体で、その半径が十分大きいならば、Kの交差体は凸になる」という予想に証明を付ける。
(2)凸体の平行体と動径平行体の幾何的性質を比べ、相違点を整理する。
(3)三角形の輻射中心の初等幾何の進展を図る。特に、「次数pの輻射中心と重心が一致する三角形は正三角形に限る」という予想の解決を図る。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
交付申請時点で予定していた研究集会への参加と予定していた研究者との打ち合わせのすべてを実行することができなかったため、当該年度の交付額よりも旅費の使用額が下回った。
2018年9月から2019年3月までワルシャワに滞在し、ワルシャワ工科大学で研究をすることになり、予定していた物品を購入しても使用することができなかったため、交付額よりも設備備品費の使用額が下回った。
研究集会へ参加するための旅費、関連する研究者を招聘するための旅費、予定していた物品を購入するための設備備品費として使用する。
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