| 研究課題/領域番号 |
17K14194
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | レフシェッツペンシル / 消滅サイクル / ブレイドモノドロミー |
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| 研究実績の概要 |
本年度はマサチューセッツ大学の浜田法行氏とともに，複素射影平面上の代数的なペンシルの組み合わせ的構造の解明に取り組んだ．具体的には次の２つの結果を得た．
一つ目の結果は種数１の正則なペンシルの分類である．複素射影平面上の３次の直線束のペンシル，および２つの射影直線の直積上の双次数(2,2)の直線束のペンシルはいずれも種数１となるが，複素曲面上の種数１のペンシルはこれらのブローアップに限ることを示した．
二つ目の結果は正則な種数１のペンシルの消滅サイクルに関するものである．まず一つ目の結果に現れた２つのペンシルの消滅サイクルを，Moishezon-Teicherの理論を援用することにより決定した．可微分なレフシェッツペンシルは写像類群を介して組み合わせ的にも構成することができ，先行研究において種数１の可微分なペンシルもいくつか与えられていたが，これらのペンシルが上で述べた方法で得られる正則なペンシルと同型であることも，得られた消滅サイクルを解析することにより示すことに成功した．この結果の系として，先行研究で構成されていた種数１のペンシルは全て正則であることも判明した．
以上の結果をまとめた論文を現在浜田氏とともに執筆しており，近日中に投稿する予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
射影平面上のペンシルの消滅サイクルの決定は当該課題申請当初から計画に含まれていた問題である．また当初は射影平面上のペンシルにのみ注目する予定であったが，研究遂行中に一般の種数１のペンシルも分類できることが判明し，実際に結果が得られている．
当初の予定では高種数のペンシルの消滅サイクルも決定する予定であった．浜田氏との議論によりこの問題自体の解決の目途はたっているものの，種数１の場合と異なり既存のものとの関係が判然としていないのが現状である．
以上のように当初の計画を全て遂行できたとはいえないものの計画自体は確実に進展しており，また計画にはなかった結果も得られたので，おおむね順調と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度の推進方策において掲げた２つの問題のうち，１つは今年度おおむね解決できたことになる．よって今後は残っているもう１つの問題に取り組む．具体的には，代数曲面上の射影直線束上で定義された直線束のペンシルを調べることにより，Moishezon-Teicherの理論を複素３次元の代数多様体に一般化することを目指す．まずは３次元複素射影空間の２次の直線束にこの理論を適用することを考える．対応するペンシルのファイバーは２つの球面の直積と微分同相になるが，本研究によりこの多様体のシンプレクティック写像類群の新たな関係式を得られることが期待される．このような関係式は曲面の写像類群のランタン関係式の高次元化というべきもので，この関係式自体興味深く，さらに６次元シンプレクティック多様体の構成への応用も期待できる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度の報告書に記載した通り，Refik Inanc Baykur氏の来日にあわせて研究集会を開催したが，先方や共催者の都合により集会の開催期間が予定していたものより若干短いものとなった．その結果必要な予算も減少したため次年度使用額が生じた．
次年度はこれまでに得た結果を積極的に発表する予定であり，そのための研究集会参加での旅費として使用したい．研究遂行のために必要となる図書の購入や研究討論のための出張も行う予定である．
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