| 研究課題/領域番号 |
17K14194
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | レフシェッツペンシル / シンプレクティック多様体 / 写像類群 / ブレイドモノドロミー |
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| 研究実績の概要 |
本年度は昨年度に引き続き、代数曲面上の線形形式のモノドロミーを調べるMoishezon-Teicherの理論を、複素射影空間に適用できるよう一般化することにより、複素射影空間上の２次のペンシルのモノドロミーを決定する試みを行った。残念ながら昨年度に続き複素射影空間のモノドロミーを完全に決定するには至っていないが、以下に記載の通り昨年度からの進展はみられた。
Moishezon-Teicherの理論は代数曲面の変形を考え、線形に埋め込まれた複素射影平面の族にまで退化させ、最終的に現れた平面配置のモノドロミーと、それぞれの退化でのモノドロミーの変化の規則を調べることにより、元々の代数曲面上のペンシルのモノドロミーを決定する、というものであり、本研究の当面の課題はこの理論と同様の手法を３次元複素射影空間に適用することであった。昨年度に発見した３次元複素射影空間の次数２のVeronese埋め込みの退化と、その過程で起こるモノドロミーの変化を詳しく調べることにより、この退化から得られるであろう次数２のVeronese埋め込みに対応するモノドロミーを予想することができた。現段階では退化の過程で起こるモノドロミーの変化を予想はできているものの、それが正しいことを完全には証明できていないため、得られたモノドロミーが実際に次数２のVeronese埋め込みに対応することは証明できていない。しかし、その組み合わせ的性質をいくつか調べることにより、その予想が正しいということを示唆する事実をいくつか証明できている。また予想が正しいと仮定したうえで、複素射影空間内のラグランジュ球面の配置に関する性質をいくつか調べることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
３次元複素射影空間のVeronese埋め込みに対応するモノドロミーを得るという目標は研究開始当初の研究計画にも含まれていたものである。研究実績の概要でも述べた通り、昨年度からの進展は確かにみられたものの、行うべきことを完全に遂行できたとは言い難い状況である。とはいえモノドロミーを調べることでラグランジュ球面の配置に関する、これまでに知られていなかった性質を解明できることなど、研究開始当初はあまり予期していなかった本研究の意義を見出すことができた。以上の状況を鑑み、計画通りには進んでいないものの着実な進展はみられるため、「やや遅れている」とした。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で述べた通り、Moishezon-Teicherの理論を複素射影空間に適用することにより得られるモノドロミーを予想することができたので、今後はまずこの予想を証明することを考える。これができれば他の３次元代数多様体にも同様の手法を適用できるようになるので、その結果得られるモノドロミーを調べる。また本年度の研究により、得られるであろうモノドロミーがラグランジュ球面の配置に関する問題に応用できることがわかったので、他の３次元代数多様体に対しても同様の応用が考えられないか、検討する予定である。また研究開始当初の計画にあったモノドロミーと不変量との関係や、６次元シンプレクティック多様体の地誌学問題への応用も想定しながら、得られるモノドロミーの組み合わせ的性質を調べる予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
昨年度に引き続き、新型コロナウイルス感染拡大の影響により予定されていた研究打ち合わせ、出張等のほとんどがキャンセルされ、このために確保していた予算が全て未使用のまま残ることとなった。
次年度も今年度と同様、状況が許す限り積極的に研究打ち合わせを行い、対面での研究集会に参加して成果を発表する予定である。また研究遂行に必要となる図書の購入も行う予定である。
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