3次元多様体上の葉層構造の剛性の研究

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K14195
• 研究種目: 若手研究(B)
• 配分区分: 基金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 立命館大学
• 研究代表者: 野澤 啓 立命館大学, 理工学部, 准教授 (80706557)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 葉層構造 / 3次元多様体 / 群作用 / 微分位相幾何 / グラフ理論 / リーマン幾何 / 対称空間 / 剛性理論

研究成果の概要

空間X上の葉層構造とは, 直観的にはより小さい次元の空間へのXの分割のことであり，微分方程式や低次元トポロジーとの関わりにおいて研究されてきた. 分割されて得られた小さい次元の空間は葉と呼ばれる. 葉層構造の葉は自分自身や他の葉に巻き付き，葉や全体の空間は興味深い幾何的性質を有する．2次元の葉を持つ3次元の空間上のトートな葉層構造について，不思議な有限性が知られているが，具体的な状況での理解はいまだ乏しい．本研究ではその有限性が顕著に現れる場合について研究した．メニエの例と呼ばれる葉層構造の構成を一般化して剛性と呼ばれる良い性質を持つ新たな例を構成し，ある場合において葉層構造の分類を与えた．

自由記述の分野

微分位相幾何

研究成果の学術的意義や社会的意義

トートな葉層構造とは，直観的にはその葉がシャボン玉の膜のように張り詰めているような葉層構造と考えることができる．このような葉層構造は曲面の上の流れの分類の後に自然に研究され，ガバイやクロンハイマー=ムロフカの研究によって非常に強い有限性を持っていることが知られている．その有限性の理解することは3次元空間の幾何，とくにその空間の許容しうる力学系（流れ）の理解を深めることに繋がり，低次元トポロジーにおいて意義があると考えられる．本研究では，顕著な例においてこの有限性の研究を行い，新たな葉層構造の例を構成し，幾何的な葉層構造の分類をある条件下で与えることで，有限性の理解を進めることができた．