| 研究課題/領域番号 |
17K14197
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| 研究機関 | 広島工業大学 |
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研究代表者 |
直川 耕祐 広島工業大学, 情報学部, 助教 (60740826)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 特異点 / メビウスの帯 / 離散化 / 可展面 / 折り紙 / コソフスキ計量 / 等長変形 / 結び目 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題では，離散化に必要な微分幾何学的性質を明らかにすると共に，その離散的対応物の研究を行うことを目的としている．本年度は以下のような成果を得た．
(1) 梅原雅顕氏，山田光太郎氏，本田淳史氏と共同で，非退化な特異点をもつフロンタル曲面の内的定式化である「Kossowski計量」を備えた2次元多様体の3次元Euclid空間への等長実現定理を与えることに成功した．Kossowski氏はカスプ辺や燕の尾を含む波面のクラスに対して等長実現定理を示したが，筆者らはそれをカスプ状交叉帽子を含むフロンタル曲面のクラスに拡張・精密化した．現在，論文を投稿中である．
(2) ウィーン工科大学のMueller氏と共同で，閉曲率線を中心線とする可展的なメビウスの帯である「主曲率的なメビウスの帯」の新たな離散化を行った．現在，それに対応する黒野-梅原型の定理を示すことを目指している．黒野-梅原は，任意に与えられた中心線の結び目の型と捻り数に対して，実解析的かつ主曲率的なメビウスの帯の存在を示したが，本研究はその離散的対応物に相当する．以前の研究でも主曲率的なメビウスの帯の離散版を得ているが，それとは異なる定式化である．これまでの成果も含めて，次年度中に結果をまとめる予定である．
(3) Mueller氏と共同で，勝手に与えられた離散的な結び目に沿う離散可展的なメビウスの帯のトポロジーの分類に関する研究に取り組み，部分的な成果を得た．具体的には，もし与えられた離散的な結び目がある平面内に横たわるならば，その離散的結び目を生成曲線とする離散可展的なメビウスの帯が存在しないことを示した．筆者の先行研究で，滑らかな場合には，ある捻り数の限界値が存在し，その値以上の捻り数のものは存在するが，それ未満のものは存在しないというタイプの定理を得ているが，今後はその離散版を目指して研究を継続する．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
すべてが計画通りに進んでいるわけではないが，国内外の研究者との共同研究および研究交流により，今後の研究に必要あるいは役に立つ新たなアイデアや知見を得ており，いくつかについては，具体的な成果あるいは部分的な成果を得ている．また，幾何学シンポジウム等を含めて，研究成果を発表している．今後も研究を継続することで，研究課題を進展させていく所存である．
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| 今後の研究の推進方策 |
いくつかの部分的な成果については，まだ結果をまとめるほどには整理されていないため，今後は研究を進展させて，論文としてまとめることを目標とする．
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