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2019 年度 実施状況報告書

ケーラー多様体上のモンジュ・アンペール方程式と正則曲線への応用

研究課題

研究課題/領域番号 17K14200
研究機関お茶の水女子大学

研究代表者

千葉 優作  お茶の水女子大学, 基幹研究院, 助教 (90635616)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワード多重列調和関数 / ベクトルバンドルのコホモロジー / 正カレント
研究実績の概要

スタイン多様体において多重劣調和函数のヘシアンの台集合において、その上のベクトルバンドルのコホモロジーの消滅を証明した。さらに射影代数多様体においてアンプルな線束のChern類に属する正カレントの台集合上のコホモロジーが全体の空間のコホモロジーと、低次では一致することを示した。これらはde Rhamコホモロジーに関しても証明でき、レフシェッツ超平面定理の、代数的でない場合へと拡張したものとみなすことができる。さらに2019年度の結果の次数を1だけ改良することができた。この改良は、二つの結果による。第一は二乗可積分な関数のdバー方程式を解く際の、解の評価の改良である。これは2017年度に研究した正則関数の拡張定理において、その証明が他の研究者により改良され、それを参考にすることで可能となった。第二に解の滑らかさをソボレフノルムを用いて証明した事による。方程式を解く際に無限個のウェイト関数を用いるため、既存の研究結果では示すことができなかったが、特殊なウェイト関数を発見することで可能となった。またソボレフノルムの評価において、スタイン多様体におけるコンパクトな台をもつコホモロジーの消滅に関するdバー方程式の解の滑らかさも証明した。これは副次的なもので、以前にも知られていたかもしれないが、その証明としては新しいものを与えたといえる。
今回の研究についてトーリック多様体でいくつか例を構成した。その結果、トーリック多様体のモーメント写像によって、正カレントの台集合を記述し、そのコホモロジーを計算することができた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

前年度に証明した擬凸領域上の結果を順調にスタイン多様体、射影代数多様体の場合に拡張できた。さらにはベクトルバンドルのコホモロジーへの一般化もできた。これらの結果は複素幾何において新しい方向性を示すのではないかと期待できる。

今後の研究の推進方策

2019年度に得られた結果をさらに深く追求をしたい。具体的にはコホモロジーの次数に関する改良、アンプルクラスでなくより一般なクラスへの改良などが考えられる。また他の分野への応用も視野に入れたい。正カレントで定理は示されているので複素力学系やネヴァンリンナ理論といった代数的ではない設定において、応用することが可能と考えられる。またトーリック多様体やトロピカル幾何といった代数幾何でどのようになるかも研究する。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] Cohomology of non-pluriharmonic loci2019

    • 著者名/発表者名
      Yusaku Tiba
    • 雑誌名

      Mathematische Zeitschrift

      巻: 293 ページ: 1403-1414

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00209-019-02273-1

    • 査読あり
  • [学会発表] Cohomology of vector bundles and non-pluriharmonic loci2019

    • 著者名/発表者名
      千葉優作
    • 学会等名
      日本数学会
  • [学会発表] Cohomology of vector bundles and non-pluriharmonic loci2019

    • 著者名/発表者名
      千葉優作
    • 学会等名
      複素解析幾何セミナー
  • [学会・シンポジウム開催] HAYAMA Symposium on Complex Analysis in Several Variables XXI2019

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公開日: 2021-01-27  

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