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本年度は主に非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の近似に関する研究を行った。この研究はEuler-Maruyama近似をはじめとする各種の近似手法に対して、収束の速さや近似誤差の漸近挙動の決定を目的としている。これは昨年度から続いている研究であり、昨年度までに研究の大筋は完成していたが、幾つかの技術的な困難が残っていた。本年度は、その困難を解決し、論文の執筆の段階まで到達した。より具体的には、あるクラスのWiener汎関数で重みづけられたpower variation等の収束を示すために、Wiener汎関数のMalliavin微分の評価が必要となる。このMalliavin微分を多変数のYoung積分として表し、Young積分の評価に関する既存の結果を拡張することにより、Malliavin微分の評価を得た。本研究は会田茂樹氏(東京大学)との共同研究である。
本研究期間を通じて、上記の近似に関する研究の他、非衝突過程の分布密度に関する研究(田口大氏(岡山大学)との共同研究)、非整数Brown運動により駆動される確率微分方程式の解の性質に関する研究（稲浜譲氏(九州大学)との共同研究）、4次モーメント定理に関する研究において成果を得た。ただし、4次モーメント定理に関する研究は、本研究課題の主要部であったが、当初予定した結果は得られなかった。
具体的には、次のとおりである。4次モーメント定理とはある次数のWienerカオスに属するWiener汎関数の列が法則収束することを2次と4次のモーメントの収束で特徴付ける定理である。この定理から「ふたつの偶数次モーメントの収束により法則収束の特徴付けが可能か否か」という問題が自然に想起される。この問題に答えることが本研究課題の主目的であった。これに関して幾つかの結果を得たが、本質的な解決とは言い難く、更なる研究が期待される。
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