| 研究課題/領域番号 |
17K14204
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
楠岡 誠一郎 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 准教授 (20646814)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 確率微分方程式 / 確率偏微分方程式 / 確率量子場モデル / マリアヴァン解析 / ディリクレ形式 / 解析半群 |
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| 研究実績の概要 |
平成２９年度は主に３次元のΦ４確率量子場モデルの不変測度に関する研究を行った。このΦ４確率量子場モデルは非線形確率偏微分方程式における１つのモデルで，その中でも繰り込みを必要とする難しい問題として，長年多くの数学者が取り組んできたものである。近年Hairer氏の斬新なアイデアにより急速に発展した話題で、他の研究者はラフパス理論を基にした解析によりこの問題に取り組んでいるのであるが、この研究では伊藤解析の観点から自然な形で議論を行うことにより確率微分方程式による様々な議論を適用し、より分かりやすい解析の手法を構築しようと試みた。その結果、既存の結果と同様に時間大域的な解の構成、さらに不変測度の構成にも成功した。既存の結果では様々な結果を組み合わせて議論を行っているが、ここでの議論は自己完結的になっており、時間に関する局所解の議論を経由せずに、時間大域解と不変測度の構成をしている点が既存の結果と大きく違うところである。更にこの研究での設定は既存のものと少々異なっていて、既存のものよりもより自然な設定になっている。この研究は既に論文としてまとめ終わり、プレプリントとして公開されている。また学術雑誌への投稿も行っている。
この他にも、ランダム環境の下でのブラウン運動の再帰性についての研究も行った。ここではブラウン運動とBroxモデルの直積からなる拡散過程の再帰性を得ることを目標に行った。この研究では、直積からなる拡散過程であることに注目し、直積ディリクレ形式の理論において再帰性の条件をより詳しく解析することにより、新しい再帰性の判定条件を作ることに成功した。この新しい判定条件では再帰性の強さの比較をすることが可能となっている。この結果はまだ論文にまとめていなく、より整った理論を目指してさらに深く研究を行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
平成２９年度は、当初時間がかかると思われていた半線形確率微分方程式の研究に大きな進展見込まれ、さらにこの話題は世界中で盛んに研究が行われプライオリティにおける競争が激しい話題であったために、この研究を優先的に行った。研究実績の概要でも述べた通りこの研究では大きな成果をあげることができた。この成果は大きな反響を得ていて、国内外の研究会でのこの話題に関する講演依頼が来ている。研究計画に記載した様に、半線形確率微分方程式の理論においてラフパス理論を用いて議論が行われている部分を、確率微分方程式の議論による書き換えの部分もこの研究成果において達成できている。さらに、この研究成果は半線形確率偏微分方程式の理論の更なる発展に繋がると期待していて、現在も引き続き研究を行っている。また、このアイデアを確率偏微分方程式ではなく、普通の確率微分方程式を用いて解釈する方法についても大まかな見通しを立てることができた。これは当初から平成３０年度に予定をしていた研究であるが、この見通しにより既存の確率微分方程式の枠組みの拡張にも大きく期待ができる状態になった。
ランダム環境の話題を介したディリクレ形式の研究も順調に研究が進んでいる。この研究でのアイデアはランダム環境中のブラウン運動の再帰性を求める際に役立つことは既に分かっているが、ランダム環境中のブラウン運動のさらに詳しい挙動についてもこのアイデアを用いて議論することができると期待している。一方でディリクレ形式と解析半群の関係についての研究にはあまり多くの時間を割くことができなかったため、平成３０年度に引き続き研究を行う。
平成２９年度は予定通りに進まなかった部分と予定を大幅に超えて進んだ部分があるが、研究全体としては当初の計画以上に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在までの進捗状況でも少し述べたが、平成３０年度は平成２９年度に得られた半線形確率偏微分方程式の研究についてさらに深く研究を行いたいと考えている。平成２９年度の研究ではΦ４確率量子場モデルに特化して議論を行っていて、この議論を一般論に拡張することは今のところ難しいと思われるが、特定のモデルに対しては少しアイデアを加えることにより同様に議論をし、時間大域解の存在や不変測度の構成などができるのではないかと考えている。ここで考えている特定のモデルとは、他の量子場モデルだけではなく、無限粒子系のモデルも想定している。無限粒子系のモデルは一見異なる形をしているが、本質的には確率偏微分方程式と似たような議論を行っていると考えている。特にこの研究での議論は自己完結的になっているため、他の理論では扱えないような半線形確率偏微分方程式が対応するようなモデルに対しても適用できると期待をしている。
さらに、この半線形確率偏微分方程式に対する議論を、普通の確率微分方程式において実現させる研究も行う。既にこれについては見通しが立っており、確率微分方程式において似たような議論を行うことによりこの理論の理解が深まると考えている。さらに確率微分方程式の枠組みを拡張したり、解析半群と確率微分方程式の関係を考察することができるようになると期待している。
また、ランダム環境中のブラウン運動の挙動を通して行っているディリクレ形式の研究も引き続き行う。特に、再帰性を求めるために導入した指数を用いることによって、ランダム環境中のブラウン運動のより精密な挙動が解析できるのかどうかを解明したいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度は出張費の一部が学内の予算から支払われたこと、また１０月に追加配分された予算をまだ一部しか使用していないことから、次年度使用額が生じた。
平成３０年度は既に３つの海外で開催される研究集会での講演依頼を受けていて、その他にも共同研究のための海外出張の依頼が来ているため、それら出張費として使用する予定である。
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