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本研究の目的は、例えば対数ポテンシャルで相互作用が与えられる無限粒子系を含む、長距離干渉系の時間発展である干渉飛躍型無限粒子系(強干渉飛躍系)に対する解析を行うことである。本年度において、前年度にまとめた強干渉飛躍系に付随する無限次元確率微分方程式(ISDE)に関する種村秀紀氏(慶應義塾大学)との共著論文が、Journal of the Mathematical Society of Japan に掲載決定した。
前年度実施した非衝突連続時間ランダムウォークの無限粒子系の解析に引き続き、無限次元の Dyson 模型に対する平衡状態への収束について研究した。本研究によって、周期的な初期配置から始める無限次元 Dyson 模型の平衡状態への収束を示せた。本研究は香取眞理氏(中央大学)と共同で実施した研究であり、今後論文投稿予定である。本研究を飛躍型過程に対して展開することを今後の目標として引き続き研究する。
また、各成分が独立な複素ブラウン運動で与えられる行列値過程に対する固有値・固有ベクトル過程について研究した。この固有値過程は長距離相互作用系であるが、Dyson 模型と異なりマルチンゲールの時間変更である。付随するオーバーラップ行列の各成分が従う確率微分方程式と、固有値の経験分布過程等が従う (確率) 偏微分方程式を導出した。本研究は、香取氏と藪奥哲史氏(北九州高専)と共同で実施した研究であり、現在論文投稿準備中である。
前年度に引き続き、強干渉飛躍系への測度幾何学的研究を目標に、数川大輔氏(九州大学)、三石史人氏(福岡大学)と共同で測度距離空間と集中現象を研究した。一般化コーシー分布に付随する測度集中現象の成立を証明し、 一般化コーシー分布から導かれる同分布確率変数列のある種の非エルゴード性を示した。一般化コーシー分布は長距離飛躍型過程の推移確率とも関連する。
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