| 研究課題/領域番号 |
17K14211
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
神吉 雅崇 関西大学, システム理工学部, 助教 (20755897)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 離散可積分系 / 戸田格子 / ローラン現象 / coprimeness |
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| 研究実績の概要 |
離散力学系の可積分性判定基準について因数分解の様相の観点で精密化を試みた。方程式の一般項を、複素数体上の初期変数の有理函数であると考え出現する因子を調査した。近年、時弘氏（東京大）・間田氏（日本大）と共同で主張した「ある一定距離以上離れた２項間に共通因子が存在しないという性質は、可積分性とほぼ等価である」という結果をCo-prime条件と呼び、次のような拡張を行った。
２次元離散戸田方程式を高次元格子上の方程式へ拡張すること、およびそれを再び低次元格子上への簡約することによって得られる式においてco-prime条件を厳密に定式化・証明を行った。Hietarinta-Viallet方程式の２次元
また、Heideman-Hogan系として知られる漸化式の２次元格子上への拡張を提案し、提案した式がco-prime条件を満たすことを証明した。Heideman-Hogan系は、Somos数列と同様に初期値を１とおくときにすべての項が整数となるintegralityを満たす漸化式であり、線形化可能系でもある。２次元格子上の線形化可能系については、2-frieze patternのモデル方程式がDana Scott系の拡張として知られているが、Heideman-Hogan系の高次元化は知られていなかった。
また、類似の線形化可能系をある種の行列式によって無数に構成できることを見出した。
最後に、２次元離散戸田方程式の拡張系はクラスター代数の拡張であるLP代数と関係していることを予想した。このような予想の証明は、大久保氏（青山学院大）らと共同で研究を行い次年度の課題とする。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２次元離散戸田方程式を高次元格子上の方程式へ拡張できたこと、および、得られた式においてco-prime条件を厳密に定式化・証明できたことは新しい結果であり、期待通りの研究の進展があったと言える。得られた結果の一部は査読付き国際雑誌に掲載され、進展は順調である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、初年度の研究成果をもとに、非アルキメデス的体上の方程式の可積分性についての研究を行う。
非アルキメデス的体（離散付値を持ち有限体を剰余体としてもつ局所体）における力学系についての研究は実数体上の系とは違い、ultra-metricを持つことにより、直感的な理解が難しく、厳密な扱いにはrigid幾何学の知識を必要とする。
可積分系分野においては、有限状態を遷移するセルオートマトンと整数論的力学系は相性が良いと考えられるが、十分に研究されてこなかった。本年度の研究では、力学系の一般項の因数分解を詳細に分析することで特異点構造を把握する。数値計算によって行った予想を証明するという流れで研究を進める。Diophantine integrabilityの考え方により、有理数の複雑さの指標である高さ（height）が、従来の代数的エントロピーの整数論的類似物であることを用いて信頼性の高い計算を行うためのアルゴリズムについて検討する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
従来より４月に開催される予定であった研究集会が、３月に開催されたため、今年度の予算を利用した出張を行えなかった。これにより差額が発生した。
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