| 研究課題/領域番号 |
17K14211
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
神吉 雅崇 関西大学, システム理工学部, 助教 (20755897)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 離散可積分系 / 代数的エントロピー / 離散KdV方程式 / 格子力学系 |
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| 研究実績の概要 |
各種の離散力学系に関して、特に互いに素条件をもつ高次元の離散力学系を離散KdV方程式の拡張を基本として導入することができた。
離散KdV方程式の指数を正整数におきかえることで得られる非可積分な拡張系については、以前の我々の論文においてすでに互いに素条件が証明されている。
本年度はこの方程式系を高次元の整数格子上の方程式へと拡張することを試み、実際に、互いに素条件を保ったまま、任意の次元の格子上の系を定義することができた。さらに、得られた系はその形よりHietarinta-Viallet方程式の高次元類似物と予想された。
ここで、Hietarinta-Viallet方程式は、離散力学系であって、次数増大が指数的であるという意味で非可積分であるものの、特異点閉じ込めテストに通る系として導入されたもので、その類似物や拡張は非可積分力学系分野で近年注目を浴びているものである。
実際に調べたところ、この方程式は低次元格子へのreductionを行うことによって確かにHietarinta-Viallet方程式の多項間漸化式への拡張となっていることが判明した。
また、その方程式に対して代数的エントロピーが系の「特性多項式」の最大の実根であることを証明することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
各種の離散力学系に関して、特に互いに素条件をもつ高次元の離散力学系を離散KdV方程式の拡張を基本として導入することができた。また、その方程式の性質について詳細な結果を得ることができたため、一定の成果を残せたと言える。一方、結果を論文にする段階で共著者の一部と連絡がつかない状況があり、また、所属大学において予定になかった講義業務が発生したため、論文をまとめることが遅れ、掲載には至らなかった。
そのため、非アルキメデス的体、すなわち、離散付値を持ち有限体を剰余体としてもつような局所体、における力学系についての研究等の発展的な項目についての研究に発展させる時間を取ることができなかった。
したがって残念ながら予定よりも若干遅れている状況である。
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| 今後の研究の推進方策 |
来年度は、まず昨年度からの懸案であった離散可積分系の幾何学的な側面および超離散力学系との対応を研究する予定である。具体的には有限体上で定義された離散力学系を特異点でblowing-up を行うことで初期値空間の構成を試みる。高々有限個の点同士の写像を構成すればよいので、従来の手法で初期値空間が作れなかった写像（偏差分方程式系）やblowing-up の回数が非常に多いため困難であった写像（Hietarinta-Viallet 方程式の拡張や線形可能系のクラス）への応用が期待できる。
その後、当初の予定に戻り、可積分な力学系について得られた見地を物理学や工学へ応用するための研究を行いたい。
例えば既知理論として、Domino Cellular Automata と呼ばれる、確率パラメータを含むセルオートマトンを用いた基本的な地震予測モデルがある。本研究において、可積分な離散力学系を用いることでさらなる精密化が可能と期待される。また、デルタ関数の有限体上の類似物を用いた超離散系の構成など、先行研究の少ない領域においてもさらなる研究を行いたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度は、研究代表者に年度初めには予定していなかった講義負担が学期途中に生じたこと、および、一部の共著者と連絡がつかないことより論文執筆の遅れが生じたこと、から予定していた出張を取りやめた。これらの理由によって次年度使用額が生じた。
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