| 研究課題/領域番号 |
17K14214
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| 研究機関 | 室蘭工業大学 |
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研究代表者 |
内免 大輔 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (20783278)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 半線形楕円型方程式 / 変分法 / 臨界問題 / 爆発解析 / Trudinger-Moser不等式 |
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| 研究実績の概要 |
発展的研究課題「一般領域における爆発符号変化解の構成」の解析を継続して行った。これは当該方程式に対するこれまでの諸研究において初めて，非自明な弱極限関数を持つ符号変化爆発解の構成を一般領域において試みるものであり興味深い。この為に当該年度は，当該方程式の正値解の非退化性に関する研究を進めた。これは課題達成のために必要不可欠な道具となる。現在のところ，一般の有界領域における正値解の非退化性の証明は著しく困難であることが予想されるため，その第一段階として，より扱いやすい軸対称領域や円盤領域における正値解の非退化性を示すことを目指している。最も扱いやすい円盤領域では既にAdimurthi-Karthik-Giacomoni('16)によって正値解の一意性および非退化性が適当なパラメータの範囲内で示されているが，その証明は解の球対称性に基づいた常微分方程式の解析手法に強く依存しているため我々の一般領域における問題へと応用することは難しい。そこで我々は，まず円盤領域における正値解について，一般領域に拡張することを見越した新しい手法でその非退化性を示すことを目指した。この為に先行研究であるMalchiodi-Martinazzi('14)，Mancini-Martinazzi('17)やGrossi-Saldana-Tavares('20)の適当なスケーリングを利用した爆発解析法を当該問題に応用し，結果として爆発正値解の精密な各点評価と爆発のスピードについての正確な情報を与える公式の導出に成功した。これらは正値解の非退化性の証明に有用であり，今後の研究課題の進展に寄与するものと期待される。一方でM.Grossi,G.Mancini,A.Pistoia氏とともに並行して共同研究を進め，正値解の非退化性が成り立つならば一般の有界領域においても符号変化爆発解の構成が可能であることを明らかにした。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
前年度までに当初の課題は達成し発展的研究課題に取り組んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
当該年度の研究によって，正値解の非退化性が成立するならば一般の有界領域においても当該方程式の符号変化爆発解の構成が可能であることが示された。よって発展的研究課題達成のためには一般領域における正値解の非退化性を証明できれば十分であることになった。そこで今後は引き続きこれを目標に，まずは円盤領域における正値解の非退化性の証明を完成させることを目指す。この為には今年度の研究によって得られた正値爆発解の各点評価や爆発スピードに関する公式に加え，線形化問題の解の漸近展開や精密な各点評価を得る必要があると考えられる。そこでまず，これまでに正値爆発解の解析のために得られた解析手法を応用することで，線形化問題の解の漸近的挙動についての詳しい解析を行う。これが完了次第，以上の結果を総合して円盤領域における正値解の非退化性の証明を完成させる。この際には関連する2次元領域におけるGel'fand問題の正値解の非退化性についての先行研究であるGrossi-Ohtsuka-Suzuki('11)やその線形化問題の詳しい漸近解析を行ったGladiali-Grossi('09)等の手法が参考になると思われる。そして円盤領域における解の非退化性の証明が得られ次第，その証明法を拡張し軸対称領域などのより一般の有界領域における正値解の非退化性の証明を目指す。この際には一般有界領域での爆発解を球対称爆発解で近似する手法が有効であると考えられる。これについては同様の手法で正値爆発解の解析を行ったDruet-Thizy(Arxiv'17)の手法が参考になると思われる。また，必要に応じて研究協力者であるM.Grossi氏やG.Mancini氏らと研究討論を行う。
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