| 研究実績の概要 |
平成30年度の研究により, 次の2点の成果が得られた. 1.) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系に対する適切性及び時間減衰評価の確立. 2.) Hardy-H\'enon 型半線形熱方程式に対する臨界 Besov 空間における時間大域可解性.
1.) においては, 二相流体の相転移を記述する圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系を臨界 Besov 空間において考察し, 時間大域可解性を示した. 特に, capillary tensor が存在しない通常の圧縮性粘性流体と異なり, 音速が零となる場合でも線形化方程式が安定であり, 非線形方程式に対しても小さな時間大域解が構成できることを明らかにした. 更に, この解に対して初期値に追加的な可積分性を課すことで, 自乗可積分空間における最適な時間減衰評価が成り立つことを示した. この結果は査読付き論文雑誌に受理され, 掲載予定である.
2.) においては, Besov 空間における一般的な冪乗型関数における合成関数の評価を確立することで, Hardy-H\'enon 型の冪乗型非線形項を持つ熱方程式に対して, 既存の適切性が成立する関数空間を拡張し, 臨界 Besov 空間における時間大域適切性を示した. また, 端点補完指数を取ることにより, 小さな前方自己相似解の構成に成功した. 特に, 加藤型 norm 評価を用いることでこの解の時間減衰まで込めて解析を行なった. この結果は査読付き雑誌に投稿中である. この研究を発展させ対応する特異定常解の安定性を調べることで, 研究計画に記載した Landau による特異定常解の解析に必要な技法を開発する目論見である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的は気体力学の基礎方程式である Navier-Stokes 系の臨界適切性, 解の安定性を解析することである.
平成30年度の研究により, capillary tensor を持つ圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系の時間大域解を構成したが, この研究の副産物として, 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系の非自明定常解の安定性解析という新たな研究の方向性を発見し, 現在それに取り組んでいる. これは, 更に性質の悪い通常の圧縮性 Navier-Stokes 方程式に対して, 類似の解析を行う際の土台となるものである.
また, 研究計画において挙げた課題「密度依存型非圧縮性 Navier-Stokes 系の特異定常解の漸近安定性」については述べると, 粘性流体の特異定常解の解析においては, 厳密解の空間的な異方性を調べ適切な関数空間を設定することが重要であることが分かってきた. 以降の研究では, この点を念頭に研究計画を推し進めたい. 以上の様に, 徐々に具体性のある研究方針を見出しつつあるため, 進捗状況は「おおむね順調に進展している」とした.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究では, 次の3点を推進方策として挙げる. 1.) Fourier-Herz 空間における Gagliardo-Nirenberg 型不等式について結果を得たが, 最良定数の同定に関して不十分な部分があるため, その点を考察する. この空間における compactness の性質を解析することが必要となるため, 周辺の結果と関連する技法を精査・改良する. 2.) 圧縮性 Navier-Stokes-Korteweg 系の非自明定常解の安定性解析を行う. 線形化方程式について最大正則性評価や減衰評価の確立が課題である. 3.) 非圧縮性非斉次 Navier-Stokes 系の特異定常解の解析手法の確立へ向けて, 性質がよりよく知られている toy model として，Hardy-Henon 型半線形熱方程式の特異定常解の解析を考察する.
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