| 研究課題/領域番号 |
17K14218
|
|---|
| 研究機関 | 大阪大学 |
|---|
研究代表者 |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| キーワード | シュレディンガー方程式 / ストリッカーツ評価 / 波動作用素 / 波動方程式 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本年度は以下の3点について研究を行った。
(1) 前年度までに考察したシュレディンガー作用素に対する一様レゾルベント評価を分数次・高次の量子効果を考慮に入れた一般化シュレディンガー作用素に拡張した。さらに、その応用として、方程式の階数が1より大きい場合に、時間大域的な加藤型局所平滑化効果およびストリッカーツ評価を証明した。考察した作用素の具体例としては、分数冪ラプラシアンや高階ラプラシアンにハーディーポテンシャルを摂動した分数冪・高階シュレディンガー作用素が挙げられる。通常の2階シュレディンガー作用素に対してはこれまでに数多くの先行研究があるが、スケール臨界ポテンシャルを伴う一般化シュレディンガー作用素に対するこの様な結果はこれが初めてである。この結果は2編の論文にまとめ現在投稿中である。
(2) 昨年度に証明したシュレディンガー方程式に対するソボレフ空間上の波動作用素の存在に関する一般論を、スカラーポテンシャルを伴う波動方程式を含む、より抽象的な分散型方程式の枠組みに拡張した。その応用として、逆2乗冪ポテンシャルを伴うエネルギー臨界・劣臨界非線型波動方程式の自由解への散乱問題に対して、先行研究で仮定されていた球対称性の仮定が必要ないことを証明した。この結果は論文雑誌 Journal of Mathematical Physics に掲載済みである。
(3) 星型グラフ上の非線形シュレディンガー方程式に対して、非線形項の冪が臨界以下の場合に通常の短距離型波動作用素および逆波動作用素が存在しないことを、頂点における最も一般的な境界条件下で証明した。この結果は論文雑誌 Journal of Evolution Equations に掲載済みである。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度までの結果を分数冪・高階シュレディンガー作用素に拡張できたことは大きな成果である。特に、ストリッカーツ評価に関する結果は、ポテンシャルを伴う分数冪・高階の非線形分散型方程式の散乱理論に応用が期待できる。また、研究実績(2)、(3)で挙げた様にポテンシャルを伴う非線形シュレディンガー・波動方程式の散乱問題への応用に関しても着実な進展があった。以上を勘案すれば、研究成果に関する情報発信・情報交流という点では社会情勢の変化によりやや不十分であったが、研究課題の進捗としては概ね順調に進展していると考えられる。
|
| 今後の研究の推進方策 |
研究計画に基づき以下のテーマについて引き続き解析を行う。(1) これまでの結果の非自己共役シュレディンガーおよびディラック作用素のスペクトル解析への応用、(2) ポテンシャルを伴う非線形分散型方程式の散乱理論への応用。また、社会情勢の変化を考慮に入れて、オンラインを用いた研究成果に関する情報発信・情報交流を推進する。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
研究成果発表および海外共同研究者との研究打ち合わせのために海外と国内出張を合わせて数件計画していたが、コロナウイルス感染拡大に関連する社会情勢の変化によって全てキャンセルとなった。さらに、これに合わせて出張用のノートパソコン等の電子機器の買い替えも取りやめたため、次年度使用額が生じた。今後も海外出張がすぐにできるような状況には無いと予想されるため、オンライン研究集会の開催やZoomなどを用いたオンラインでの研究打ち合わせに必要となる設備の購入を計画している。また、年度後半には数件の国内出張を計画している。
|
